Differenza tra prodotto diretto e semidiretto

Il prodotto diretto e il prodotto semidiretto sono due modi di combinare insieme due gruppi per ottenerne un terzo. Per capire la differenza tra i due e l’utilità di ciascuno consideriamo due prospettive:

• La prospettiva esterna, per cui dati due gruppi indipendenti otteniamo un terzo gruppo, il loro prodotto diretto o semidiretto.
• La prospettiva interna, per cui dati due particolari sottogruppi di un gruppo, possiamo ricostruire il gruppo madre come loro prodotto diretto o semidiretto.

Prodotto diretto esterno

Dati due gruppi $H$ e $K$ a caso, possiamo formarne il prodotto diretto $H \times K$. Il prodotto diretto sarà di nuovo un gruppo i cui elementi sono gli elementi del prodotto cartesiano di $H$ e $K$. Ovvero dati $h \in H$ e $k \in K$, il loro prodotto diretto è l’insieme delle coppie $(h,k)$ con la moltiplicazione ovvia:

$$(h_1,k_1) (h_2,k_2) = (h_1 h_2,k_1 k_2)$$

È banale verificare che l’operazione così definita soddisfa gli assiomi di gruppo. L’identità è $(e,e)$, l’inversa è $(h,k)^{-1} =(h^{-1},k^{-1})$ e l’associatività è ereditata dai gruppi di partenza.

Bisogna enfatizzare che non è richiesto alcun requisito su $H$ e $K$ tranne quello di essere gruppi: il prodotto diretto esterno si può sempre fare. Va notato che i due gruppi $H$ e $K$ sono completamente indipendenti in $H \times K$, al punto che commutano tra di loro: se infatti $(h,e) \in H \leq H \times K$ e $(e,k) \in K \leq H \times K$ allora palesemente $(h,e) (e,k)= (h,k) = (e,k)(h,e)$.

Prodotto semidiretto esterno

Prendiamo di nuovo due gruppi a caso $H$ e $K$. Come prima scegliamo come insieme sottostante il prodotto cartesiano tra $H$ e $K$. Nel caso del prodotto diretto, i due gruppi erano completamente indipendenti all’interno loro prodotto. In questo caso invece permettiamo ad uno dei gruppi, diciamo $H$, di agire su $K$ in modo non banale. Ovvero:

$$(h_1, k_1)\cdot (h_2, k_2) = (h_1 h_2, k_1\phi(h_1)(k_2))$$

dove $\phi$ è un’azione di $H$ su $K$, ovvero una funzione $\phi$ tale che per $h\in H$, $\phi(h)$ è un’isomorfismo $K\to K$ (per i più scafati ciò significa semplicemente $\phi: H \to \mathrm{Aut}(K)$).

In questo caso l’inversa è $(h, k)^{-1} = (h^{-1}, \phi(h^{-1})(k^{-1}))$ e possiamo verificare che $K$ è normale, ma $H$ no.

Il gruppo risultante è detto prodotto semidiretto, ed è indicato come $H \ltimes K$. Se vogliamo indicare esplicitamente l’azione usata, possiamo scrivere $H \ltimes_\phi K$. Il prodotto semidiretto è quindi un prodotto diretto in cui il secondo componente è “modificato” da una certa azione. Notiamo che:

• Il prodotto diretto è un caso particolare di prodotto semidiretto, in cui l’azione $\phi$ è l’identità, $\phi(h)(k)=e$ per ogni $h,k$.
• Il prodotto semidiretto non è unico: dipende da quale azione $\phi$ scegliamo. Scegliere un’azione diversa ha l’effetto di produrre un gruppo diverso.

Nota sulla definizione: c’è chi scrive il prodotto con il termine $\phi$ nel primo fattore invece che nel secondo, ma le due definizioni sono completamente equivalenti. Per ricordare il senso del simbolo $\ltimes$, possiamo immaginare che $H$ abbia delle piccole braccia che “agiscono” su $K$, ovvero $H \ltimes K$. Se invece mettiamo il termine $\phi$ nel primo fattore, è $K$ che agisce su $H$ e quindi scriveremmo $H \rtimes K$. In ogni caso, questa convenzione non è universale e quindi bisogna controllare la definizione usata da ogni autore.

Perché ci interessa il prodotto semidiretto?

Consideriamo un esempio dalla fisica, ovvero lo spaziotempo tridimensionale $\mathbb{R}^3$. Dato un vettore $\mathbf x \in \mathbb{R}^3$ possiamo effettuarne una rotazione, implementata da una matrice $R \in SO(3)$: $\mathbf x’ = R \mathbf x$. Possiamo anche effettuarne una traslazione, ottenendo $\mathbf x’ = \mathbf x+\mathbf a$. Le traslazioni formano un gruppo isomorfo ad $\mathbb{R}^3$.

Ora consideriamo queste due trasformazioni insieme, cioè le coppie $(R,\mathbf a)$ dove $R$ è una matrice di rotazione e $\mathbf a$ è un vettore di rotazione. Che succede se applichiamo prima $(R_2, \mathbf{a}_2)$ e poi $(R_1,\mathbf{a}_1)$? Abbiamo:

\begin{align*}
\mathbf{x} \to \mathbf{x}’ &= R_2 \mathbf{x}+\mathbf{a}_2 \\
\mathbf{x}’ \to \mathbf{x}^{\prime\prime}&= R_1 \mathbf{x}’ +\mathbf{a}_1 = R_1 R_2 \mathbf{x} + R_1 \mathbf{a}_2 +\mathbf{a}_1
\end{align*}

Per cui la composizione di queste due trasformazioni è $(R_1, \mathbf{a}_1) \cdot (R_2, \mathbf{a}_2) = (R_1 R_2, R_1 \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_1)$. La struttura di prodotto semidiretto emerge naturalmente se vogliamo considerare una visione unificata di rotazioni e traslazioni nello spazio. In questo caso l’azione è appunto $\phi(R) = R: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, ovvero $\phi(R)(\mathbf x) = R \mathbf x$, che è un isomorfismo di $\mathbb{R}^3$. Per cui il gruppo unificato di rotazioni e traslazioni dello spazio euclideo è il prodotto semidiretto $SO(3) \ltimes \mathbb{R}^3$.

Al contrario, il prodotto diretto $SO(3) \times \mathbb{R}^3$ esiste ed ha la regola di composizione $(R_1, \mathbf{a}_1) \cdot (R_2, \mathbf{a}_2) = (R_1 R_2, \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)$. Semplicemente non è il gruppo che cerchiamo in questo caso.

Prodotto diretto interno

Ora che abbiamo visto cos’è il prodotto diretto, possiamo porci la domanda: quand’è possibile scrivere un gruppo $G$ come il prodotto diretto di due suoi sottogruppi $H$ e $K$? Il problema è risolto dal seguente teorema:

Teorema (prodotto diretto). Sia $G$ un gruppo e $H$, $K$ due sottogruppi. Allora $G \cong H \times K$ se e solo se:

• $H$ e $K$ sono normali;
• $H \cap K = \{e\}$;
• Ogni elemento di $G$ può essere scritto come prodotto di un elemento in $H$ e di un elemento in $K$.

La dimostrazione non è difficile, potete provare. Il “se e solo se” rende le condizioni necessarie e sufficienti, per cui non gli si può sfuggire. In particolare si dimostra il seguente teorema:

Teorema. Se $G$ è un gruppo e $H, K$ due suoi sottogruppi normali con intersezione nulla $H \cap K = 0$, allora tutti gli elementi di $H$ commutano con tutti gli elementi di $K$.

La dimostrazione è facile. Quindi la struttura di prodotto diretto è adatta a catturare solo gruppi formati da due sottogruppi completamente indipendenti. In molti casi “ghiotti” questo non è il caso, come vedremo sotto. Possiamo però spesso scriverli come prodotti semidiretti.

Prodotto semidiretto interno

Abbiamo visto come uno dei requisiti per scrivere $G = H \times K$ dove $H$ e $K$ sono sottogruppi di $G$ è che commutino tra di loro. Ciò non permette che i due sottogruppi interagiscano tra loro, ed è quindi una condizione estremamente limitante. Possiamo però spesso adoperare il prodotto semidiretto, come afferma il seguente teorema:

Teorema (prodotto semidiretto). Sia $G$ un gruppo e $H$, $K$ due sottogruppi. Allora $G \cong H \ltimes K$ se e solo se:

• $K$ è normale;
• $H \cap K = \{e\}$;
• Ogni elemento di $G$ può essere scritto come prodotto di un elemento in $H$ e di un elemento in $K$.

L’unica differenza rispetto al teorema del prodotto diretto è che $H$ (ovvero il gruppo che agisce) non è necessariamente normale in questo caso, e ciò è sufficiente per impedire che i due sottogruppi commutino.

Esempi di prodotto semidiretto

Alcuni dei prodotti di seguito sono particolarmente soddisfacenti, perché scriverli è una grossa tentazione, ma non funzionano come prodotti diretti:

• $S_n = \mathbb{Z}_2 \ltimes A_n$
• $D_{2n} = \mathbb{Z}_2 \ltimes \mathbb{Z}_n$
• $GL(n, \mathbb{F}) = SL(n, \mathbb{F}) \ltimes \mathbb{F}^\times$
• $O(n, \mathbb{F}) = \mathbb{Z}_2 \ltimes SO(n, \mathbb{F})$
• $U(n) = U(1) \ltimes SU(2)$
• $ISO^+(1,3) = SO^+(1,3) \ltimes \mathbb{R^4}$ ovvero il gruppo di Lorentz inomogeneo, cioè il gruppo di simmetria della teoria dei campi, è il prodotto semidiretto del gruppo di Lorentz ristretto e delle traslazioni.

Per essere precisi, in ognuno di questi casi dovremmo anche specificare quale automorfismo $\phi$ stiamo usando, perché per $\phi$ diverso otterremmo un diverso prodotto semidiretto.

Un soddisfacente teorema sul prodotto semidiretto

Dato un gruppo $G$ e un suo sottogruppo normale $H$ è possibile costruire un altro gruppo, il quoziente $G/H$. La notazione per la divisione è suggestiva: sarà forse possibile ricostruire il gruppo iniziale prendendo un prodotto? Ovvero

$$\frac{G}{H} \times H\stackrel{?}{\cong} G$$

In generale ciò non è vero. Ad esempio, $\mathbb{Z}_4 / \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_2$, ma sappiamo bene che il gruppo di Klein $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \not\cong \mathbb{Z}_4$ non è il gruppo ciclico di ordine quattro. Il prodotto semidiretto permette tuttavia il seguente teorema generale:

Teorema (Schur-Zassenhaus). Sia $G$ un gruppo finito ed $H$ un suo sottogruppo normale. Se l’ordine di $H$ e l’ordine di $G/H$ sono primi tra loro, allora
$$G \cong  \frac{G}{H}\ltimes H$$

La dimostrazione non è banale. Nel caso in cui i due gruppi non siano coprimi, il gruppo iniziale non è un prodotto semidiretto e non ci possiamo fare nulla. Ad esempio se $Q$ è il gruppo dei quaternioni e $\mathbb{Z}_2$ il suo centro, abbiamo $Q/\mathbb{Z}_2 \cong\mathbb{Z}_4$, ma $Q$ non è il prodotto semidiretto di $Z_2$ e $Z_4$. Nel caso generale in cui $H$ e $G/H$ hanno ordini non coprimi, allora si dice che $G$ è un estensione di $G/H$ tramite $H$, ma ricostruire $G$ è molto più difficile.