Introduzione alle forme differenziali #2: proprietà della derivata e del prodotto

Abbiamo già visto l’idea di base di forma differenziale, nonché la definizione di prodotto cuneo e di derivata esterna. Vediamo nel seguito alcune proprietà delle forme differenziali.

Spazi delle p-forme

In $\mathbb{R}^n$ abbiamo una base di differenziali $dx^1, dx^2, \ldots dx^n$. Una $p-$forma è una forma differenziale che contiene esattamente $p$ differenziali diversi, ad esempio $y^2 \,dx$ è una $1-$forma, mentre $x\,dy \wedge dx + zx\,dz \wedge dy$ è una $2-$forma. Una forma differenziale non può contenere due differenziali identici: poiché il prodotto cuneo è antisimmetrico, abbiamo infatti $dx^1 \wedge dx^1 = 0$, ecc. Se i differenziali identici non fossero contigui, possiamo commutare i prodotti utilizzando l’antisimmetria e prendendo dei $-1$ in modo tale da renderli contigui. Quindi se una $p-$forma contiene due differenziali identici, allora è nulla.

Qual è la dimensione dello spazio delle $p-$forme? Sicuramente date due $p-$forme la loro somma è ancora una $p-$forma, per cui lo spazio delle $p-$forme è uno spazio vettoriale. Viene di solito denotato $\Lambda^p (\mathbb{R}^n)$. Che dimensione ha? Abbiamo detto che una $p-$forma non può contenere due differenziali diversi. Per cui per un elemento della base di $\Lambda^p (\mathbb{R}^n)$ dobbiamo scegliere $p$ differenziali diversi tra $n$ possibili differenziali. Queste sono $n \choose p$ possibili scelte, per cui:

$$\mathrm{dim}\,\Lambda^p (\mathbb{R}^n) = {n \choose p}$$

Come ci aspettiamo ritroviamo che lo spazio delle $0-$forme, cioè le funzioni, ha dimensione $1$, mentre lo spazio delle $1-$forme ha dimensione $n$. Particolare importanza assumerà nei prossimi articoli il fatto che ${n \choose p} = {n \choose n-p}$. In particolare le $n-$forme hanno dimensione $1$. In $n$ dimensioni non esistono forme con $p>n$: in questo caso saremmo infatti costretti a scegliere due differenziali uguali, per cui la forma sarebbe nulla.

Orientazione

Abbiamo visto che in $n$ dimensioni lo spazio delle $n-$forme ha dimensione uno. La $n$-forma

$$\omega = \pm dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$$

è detta orientazione dello spazio. Abbiamo due possibili orientazioni: possiamo scegliere il $+$ o il $-$. Non esiste un modo canonico per scegliere una delle due, perché siamo sempre liberi di riordinare gli elementi della base a nostro piacimento.

Algebra di Grassmann e di Clifford

Un’algebra è uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto. Il prodotto esterno tra una $p-$forma e una $q-$forma è una $(p+q)-$forma. Per cui se vogliamo formare un’algebra delle forme differenziali dobbiamo includere le forme di ogni grado. Lo spazio vettoriale di tutte le forme su $\mathbb{R}^n$ è detto algebra esterna o algebra di Grassmann,  indicata con $\Lambda(\mathbb{R}^n)$. In termini formali possiamo scrivere $\Lambda = \oplus_{p=0}^n \Lambda^p$. Un elemento di $\Lambda$ è ad esempio $4 dx + 18y^2 dx \wedge dz$, possiamo cioè sommare forme con un numero diverso di differenziali.

Possiamo interpretare l’algebra di Grassmann come un’algebra di Clifford in cui la metrica è identicamente nulla.

La derivata seconda è nulla

Una proprietà fondamentale della derivata esterna è $d^2=0$. Ovvero applicando due volte la derivata esterna ad una qualsiasi forma, otteniamo $0$. Ad esempio abbiamo visto che per $\gamma_1 = xy dx + z dz$, allora $d\gamma_1 = x dy \wedge dx$. Potete verificare facendo il calcolo diretto che $d (d\gamma_1) = 0$. Ciò è sempre vero. Infatti abbiamo visto che per definizione

$$\omega = \sum_{I} \omega_I (x) dx^I\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \implies \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d\omega = \sum_{I, j} \frac{\partial \omega_I (x)}{\partial x^j} dx^j \wedge dx^I$$

Per cui applicando la derivata una seconda volta

$$d(d\omega) = \sum_{I, j,k} \frac{\partial^2 \omega_I (x)}{\partial x^k \partial x^j} dx^k \wedge dx^j \wedge dx^I$$

Ma il prodotto delle derivate parziali è simmetrico, mentre il prodotto $dx^k \wedge dx^j$ è antisimmetrico, per cui in totale $d(d\omega)=0$.

Derivata del prodotto

La derivata esterna di un prodotto segue la seguente regola. Se $\alpha$ è una $p-$forma e $\beta$ è una $q-$forma, allora

$$d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta+(-1)^p \alpha \wedge d\beta$$

L’idea è che il differenziale dovuto a $d$ deve attraversare i $p$ differenziali di $\alpha$ prima di arrivare a $\beta$. La dimostrazione segue facilmente dalla formula per la derivata.

Nel prossimo articolo una prospettiva diversa sulle forme differenziali.