Una forma differenziale è una cosa tipo:
$$\omega_1 = x dx + y dy + z dz$$
oppure anche
$$\omega_2 = 2 dx dy + dx dz$$
o ancora:
$$\omega_3 = dx dy dz$$
In termini intuitivi, una forma differenziale è “una cosa pronta per essere integrata”. Se integrassimo la prima otterremmo un integrale di linea, un integrale di superficie per la seconda, e un integrale di volume per la terza.
Prendiamo ad esempio la forma $\omega = dx dy$, integriamola e cambiamo le variabili da $(x,y)$ a $(u,v)$. Con la solita formula del Jacobiano otteniamo:
$$\int dx dy = \int \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \end{pmatrix} du dv$$
Ora, scambiare $x$ e $y$ nell’integrale ha l’effetto di scambiare le righe del Jacobiano, e quindi di introdurre un segno meno. Da ciò deduciamo $dydx = -dxdy$. Come conseguenza $dx dx = 0$ e infatti integrare due volte sulla stessa variabile non ha senso.
Eppure negli integrali siamo abituati a scambiare l’ordine di integrazione come ci pare senza introdurre un segno! Il motivo è che siamo abituati a trascurare l’orientazione dello spazio. Ad esempio, se vogliamo integrare una funzione su una superficie sferica, dobbiamo scegliere una normale alla sfera. Abbiamo due scelte: una in cui la normale punta verso l’interno della sfera, l’altra in cui la normale punta verso l’esterno. Se cambiamo variabili e il Jacobiano ha determinante negativo, significa che stiamo scambiando la normale interna e la normale esterna. Se prendiamo il valore assoluto stiamo ignorando questo fatto e quindi stiamo quindi perdendo informazione: in ogni caso commettiamo al più un errore di segno, che però è rilevante nel caso dovessimo sommare diversi integrali.
Poiché abbiamo detto che $dydx = -dxdy$, ci serve una notazione che evidenzi il fatto che il prodotto tra i due differenziali è antisimmetrico. Lo chiamiamo prodotto cuneo, o anche prodotto esterno, e lo indichiamo appunto con un cuneo:
$$dy \wedge dx = -dx \wedge dy$$
Il prodotto è appunto antisimmetrico, ma per il resto funziona come al solito: in particolare è bilineare (distributivo) e associativo. Se nelle forme differenziali prima avevamo scritto $dx dy$, più precisamente intendevamo $dx \wedge dy$. In termini dei differenziali soliti che abbiamo ficcato negli integrali finora, abbiamo $dx dy = |dx \wedge dy|$ (in cui cioè ignoriamo il segno).
Gli oggetti $dx$ oppure $dy$ oppure anche $x dy$ ecc. contengono ognuno un solo differenziale, per cui li chiamiamo $1$-forme. Il prodotto esterno di due 1-forme contiene due differenziali, ad esempio $dx \wedge dy$, che chiamiamo una $2$-forma. Allo stesso modo $dx \wedge dy \wedge dz$ è una $3$-forma e una semplice funzione $f$, oggetto che non contiene differenziali, è una $0$-forma. Notiamo che ad esempio il prodotto di due $2$-forme non è antisimmetrico. Infatti se $\alpha = A(x,y,u,v)dx \wedge dy$ e $\beta = B(x,y,u,v) du \wedge dv$ allora
$$\begin{align*} \alpha \wedge \beta &=A(x,y,u,v)B(x,y,u,v)(dx \wedge dy) \wedge (du \wedge dv)\\
&=AB\, dx \wedge dy \wedge du \wedge dv =\\
&= -AB\, dx \wedge du \wedge dy \wedge dv=\\
&= AB\, dx \wedge du \wedge dv \wedge dy=\\
&= -AB\, du \wedge dx \wedge dv \wedge dy=\\
&= AB\, du \wedge dv \wedge dx \wedge dy=\\
&= AB\, (du \wedge dv) \wedge (dx \wedge dy)=\\
&= \beta \wedge \alpha
\end{align*}$$
In generale, il prodotto di una $p-$forma $\alpha$ e di una $q-$forma $\beta$ soddisfa:
$$\alpha \wedge \beta = (-1)^{pq} \beta \wedge \alpha$$
La dimostrazione è essenzialmente combinatoria: basta contare i $-1$ che otteniamo permutando i vari differenziali.
Se ci troviamo in $\mathbb{R}^n$, abbiamo $n$ coordinate $x^1, x^2, \ldots, x^n$. Allora una forma differenziale è in generale una qualche combinazione lineare di prodotti cuneo dei differenziali delle coordinate:
$$\omega = \sum_{I} \omega_I (x) dx^I$$
dove $I = (i_1, i_2, \ldots)$ è un multi-indice, per cui $dx^I = dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}$ dove $p$ è un qualche numero: possiamo avere $1$-forme, $2$-forme, $n$-forme, eccetera come prima.
Abbiamo definito una forma differenziale in modo puramente algebrico. Ma che cosa sono i differenziali $dx^i$? Supponiamo di cambiare le coordinate da $x^i$ a $u^i$, quindi $x^i = x^i (u^j)$. Possiamo esprimere i differenziali usando la regola della catena:
$$dx^i = \sum_j\frac{\partial x^i}{\partial u^j} du^j$$
Niente di nuovo. Evidenziamone però la nuova interpretazione mettendo delle parentesi:
$$d(x^i) = \sum_j \frac{\partial x^i}{\partial u^j} du^j$$
In termini di forme differenziali, quest’equazione la leggiamo così: abbiamo una funzione $x^i$, cioè una “$0$-forma”, e un’operatore, $d$, la derivata esterna, che trasforma la funzione in una “$1$-forma” con certi coefficienti.
E in generale? Se abbiamo una $p$ forma? La derivata esterna di una $p$ forma sarà quindi una $p+1$ forma definita come segue. Se
$$\omega = \sum_{I} \omega_I (x) dx^I$$
dove $I$ è una certa collezione di indici, per cui $dx^I = dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_n}$ allora
$$d\omega = \sum_{I, j} \frac{\partial \omega_I (x)}{\partial x^j} dx^j \wedge dx^I$$
Facciamo qualche esempio:
$$\gamma_1 = xy dx + z dz$$
\begin{align*}
\implies d\gamma_1 &= d(xy dx) + d(z dz)=\\
&=\sum_j \frac{\partial (xy)}{\partial x^j} dx^j \wedge dx+\sum_j \frac{\partial z}{\partial x^j} dx^j \wedge dz =\\
&=\pqty{\frac{\partial (xy)}{\partial x} dx \wedge dx+\frac{\partial (xy)}{\partial y} dy \wedge dx+\frac{\partial (xy)}{\partial z} dz \wedge dx} +\pqty{\frac{\partial x}{\partial z} dx \wedge dz+\frac{\partial z}{\partial y} dy \wedge dz+\frac{\partial z}{\partial z} dz \wedge dz} = \\
& = \pqty{0+x dy \wedge dx+0} +\pqty{0+0+0}=0\\
& = x dy \wedge dx
\end{align*}
oppure anche
$$\gamma_2 = z dx \wedge dy$$
\begin{align*}
\implies d\gamma_2 &= \sum_j \frac{\partial z}{\partial x^j} dx^j \wedge dx \wedge dy=\\
&= 0+0+dz \wedge dx \wedge dy =\\
&= -dx \wedge dz \wedge dy =\\
&= dx \wedge dy \wedge dz\\
\end{align*}
o ancora:
$$\gamma_3 = xyz dx \wedge dy \wedge dz$$
\begin{align*}
\implies d\gamma_3 &= \sum_j \frac{\partial xyz}{\partial x^j} dx^j \wedge dx \wedge dy \wedge dz =\\
&= yz \,\,dx \wedge dx \wedge dy \wedge dz + xz \,\,dy \wedge dx \wedge dy \wedge dz + xy \,\,dz \wedge dx \wedge dy \wedge dz =\\
&= 0+0+0=0\\
\end{align*}
per l’antisimmetria del prodotto cuneo.
Nel prossimo articolo approfondiremo alcune proprietà delle forme differenziali.