Una funzione armonica è una funzione che soddisfa l’equazione di Laplace:
$$\nabla^2 f =0$$
L’equazione di Laplace appare dappertutto in fisica, ed è spesso utile conoscere le proprietà generali delle funzioni armoniche. È un’equazione ellittica, che dunque rappresenta lo stato stazionario di un processo, oppure in genere una situazione statica.
Proprietà della media
Consideriamo una palla $B(x,r)$ centrata in $x$ di raggio $r$, interamente contenuta in un aperto $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. Se $f$ è armonica in $\Omega$, allora il suo valore in $x$ è dato dalla media dei valori in $B(x,r)$, che è anche uguale alla media dei valori sulla superficie di $B(x,r)$. Ovvero:
$$f(x) = \frac{1}{\abs{B(x,r)}} \int_{B(x,r)} f(y)\,dV = \frac{1}{\abs{\partial B(x,r)}} \int_{\partial B(x,r)} f(y)\,dS$$
dove $x,y \in \mathbb{R}^n$.
Dimostriamo prima di tutto la seconda formula. Senza perdita di generalità possiamo porre $x = 0$, cosicché $B(0,r)=B(r)$ dipende solo da $r$. Possiamo quindi calcolare:
$$\dv{}{r} \frac{1}{\abs{\partial B(r)}} \int_{\partial B(r)} f(y)\,dS(y)$$
Prima di effettuare la derivata cambiamo variabile all’interno dell’integrale, ponendo $y = r z$. L’area di una superficie sferica di raggio $r$ è proporzionale a $r^{n-1}$, per cui abbiamo $dS(y) = r^{n-1} dS(z)$ e $\abs{\partial B(r)} = r^{n-1}\abs{\partial B(1)}$. I due termini si cancellano e la formula diventa:
\begin{align*}
\dv{}{r} \frac{1}{\abs{\partial B(1)}} \int_{\partial B(1)} f(rz)\,dS(z)&=\frac{1}{\abs{\partial B(1)}} \int_{\partial B(1)} \pdv{f(rz)}{r}\,dS(z)=\\
&=\frac{1}{\abs{\partial B(1)}} \int_{\partial B(1)} z \cdot \nabla f(rz)\,dS(z)=
\end{align*}
Adesso rimettiamo dentro la variabile $y$ e notiamo che $z/r = n$, la normale alla palla. Per cui possiamo usare il teorema della divergenza:
\begin{align*}
&=\frac{1}{\abs{\partial B(1)}r^{n}} \int_{\partial B(r)} n \cdot \nabla f(y)\,dS(y)=\\
&= \frac{1}{\abs{\partial B(1)}r^{n}} \int_{B(r)} \nabla^2 f(y)\,dS(y)=0
\end{align*}
Pertanto $\frac{1}{\abs{\partial B(r)}} \int_{\partial B(r)} f(y)\,dS(y)$ è indipendente da da $r$, e quindi tanto vale prenderne il limite per $r\to 0$:
$$\frac{1}{\abs{\partial B(r)}} \int_{\partial B(r)} f(y)\,dS(y) =\lim_{r \to 0} \frac{1}{\abs{\partial B(r)}} \int_{\partial B(r)} f(y)\,dS(y) = f(0)$$
La dimostrazione dell’equivalenza dei due integrali, di volume e di superficie, è tralasciata.
Analiticità
Data una funzione analitica complessa $u = f+ig$, $f$ e $g$ soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann e sono pertanto armoniche. In particolare data $f$ armonica, risolvendo le equazioni di Cauchy-Riemann troviamo una compagna $g$ tale che $u=f+ig$ è analitica. In tal modo abbiamo costruito una funzione analitica la cui parte reale è $f$: poiché analitica, $u$ è infinitamente derivabile e ammette serie di Taylor. Per cui anche una funzione armonica è infinitamente derivabile e ammette serie di Taylor.
Inoltre sappiamo dalla teoria delle funzioni complesse che due funzioni complesse analitiche identiche su un sottoinsieme di un aperto $\Omega$ sono anche identiche in tutto $\Omega$. Ne segue che la stessa proprietà vale anche per le funzioni armoniche.
Assenza di massimi e minimi locali
Per la proprietà della media sopra stabilita, $f(x)$ armonica non può avere massimi o minimi locali. Se infatti $f(x)$ avesse un massimo in $x=x_0$, allora potremmo applicare la proprietà della media al punto $x_0$ per dimostrare che $f(x_0)$ è la media dei valori in una palla qualsiasi centrata in $x_0$. Pertanto ci sarà sempre una zona, per quanto piccola, in cui $f(x)$ assume dei valori maggiori di $f(x_0)$, che pertanto non può essere un massimo.
L’unica alternativa è che $f(x)$ sia costante, ma per la proprietà di analiticità ciò implicherebbe che è costante dappertutto.
Sublinearità
Consideriamo l’equazione di Laplace in una dimensione:
$$\pdv{^2 f}{x^2}=0$$
Risolvendo otteniamo: $f(x) = ax +b$. Per cui se $f(x)/x \to 0 $ per $x \to \infty$ allora $a=0$ e $f(x)$ è costante. Questa proprietà vale in qualunque dimensione.
Ovvero se $f$ è armonica e ha la proprietà che $\frac{f(x)}{|x|} \to 0$ per $|x| \to \infty$, allora $f(x)$ è costante. Per cui in particolare se $f(x) \to 0$ per $|x| \to \infty$ allora anche $\frac{f(x)}{|x|} \to 0$, per cui $f(x)$ è costante; ma tende a zero all’infinito, per cui è necessariamente zero dappertutto. Questa proprietà è utile nella dimostrazione dei teoremi di unicità delle soluzioni.