Connessione tra conducibilità termica e conduttività elettrica

La conducibilità termica e la conduttività elettrica derivano da meccanismi microscopici che hanno a che fare con il trasporto di elettroni, ed è perciò naturale aspettarsi che ci sia una connessione tra le due.

Abbiamo visto che per un metallo la conduttività elettrica è data dal modello di Drude:

$$\sigma=\frac{e^2 n \tau}{m}$$

Ora ricaviamo una formula per la conducibilità termica. Per definizione la conducibilità termica è la costante $k$ nella formula per il trasporto di calore:

$$\mathbf j = -k \nabla T$$

dove $\mathbf j$ è la corrente termica, cioè il calore, e  $T$ la temperatura.

In una dimensione spaziale, l’equazione sopra diventa semplicemente:

$$j = -k \dv{T}{x}\tag{1}$$

Chiamiamo $\epsilon(T)$ l’energia termica media di un elettrone. Teniamo in mente l’esempio di una sbarra (monodimensionale) che si scalda. Come nel modello di Drude, il tempo medio di collisione tra un elettrone e uno ione lo chiamiamo $\tau$. Gli elettroni che arrivano in un punto $x$ della sbarra avranno avuto l’ultima collisione alla posizione $x-v\tau$ se vengono da sinistra, oppure $x+v\tau$ se vengono da destra, dove $v$ è la velocità media di un elettrone. Pertanto nei due casi gli elettroni avranno energia $\epsilon(T(x-v\tau))$ e $\epsilon(T(x+v\tau))$ rispettivamente, dove $T(x)$ è la temperatura al punto $x$ della sbarra.

Chiamiamo $n$ la densità di elettroni liberi nella sbarra. Il flusso di calore che proviene da sinistra verso $x$ sarà quindi $\frac{n}{2}v\epsilon(T(x-v\tau))$, mentre quello che proviene da destrà sarà $-\frac{n}{2}v\epsilon(T(x-v\tau))$. Il motivo per cui abbiamo $n/2$ è che la densità in $x$ è dovuta per metà agli elettroni da destra e per metà a quelli da sinistra. Nel secondo caso abbiamo il segno meno perché la velocità ha segno opposto (cioè viene da destra). Per cui in totale:

$$j(x) = \frac{1}{2}n v \bqty{\epsilon(T(x-v\tau))-\epsilon(T(x+v\tau))} \approx -nv^2 \tau \dv{\epsilon}{T}\dv{T}{x}$$

Per cui confrontando con $(1)$ vediamo che la conducibilità termica è $k= n v^2 \tau \dv{\epsilon}{T}$. Ma $\dv{\epsilon}{T} = \dv{(E/N)}{T}= c_V$, il calore specifico per particella, per cui nel caso monodimensionale abbiamo

$$k =n v^2 \tau c_V$$

Possiamo ora riportarci al caso $3D$. Nella derivazione monodimensionale, abbiamo considerato solo il moto in una direzione, per cui nel caso $3D$ la velocità $v^2$ nella formula è più propriamente $v_x^2$ (o anche $v_y^2$ o $v_z^2$, sono uguali). Abbiamo inoltre $\langle v_x^2\rangle = \frac{1}{3}\langle v^2\rangle$. Per cui sostituendo:

$$\boxed{k = \frac{1}{3}n c_v \langle v^2\rangle \tau}$$

Per un gas ideale $c_V = \frac{3}{2} k_B$ e inoltre $\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle = \frac{3}{2}k_B T$ per l’equipartizione dell’energia. Sostituendo otteniamo:

$$k =\frac{3}{2}\frac{nk_B^2 T \tau}{m}$$

Per cui usando la formula di Drude abbiamo:

$$\frac{k}{\sigma T} = \frac{3}{2}\pqty{\frac{k_B}{e}}^2 \approx 1,11\cdot 10^{-8} \mathrm{W}\mathrm{\Omega}/\mathrm{K}^2$$

Ovvero il rapporto tra conducibilità termica ed elettrica è proporzionale alla temperatura; la costante è universale, cioè indipendente dalle caratteristiche del materiale. La legge così ottenuta è più o meno corretta per la maggior parte dei metalli, e riproduce correttamente anche l’ordine di grandezza della costante universale. Sperimentalmente diversi metalli hanno una diversa costante, però quasi sempre dell’ordine di $10^{-8}$.

Il gas di elettroni non è un gas ideale, tuttavia il modello funziona correttamente perché commette due errori che si cancellano. La statistica di Fermi-Dirac infatti causa una correzione al calore specifico proporzionale a $T/T_F$ dove $T_F$ è la temperatura di Fermi del gas, mentre allo stesso tempo avremmo dovuto usare la velocità di Fermi, $\frac{1}{2} m \langle v_F^2\rangle \propto k_B T_F$ al posto della velocità. Moltiplicando i due i termini $T_F$ si cancellano e la predizione è circa giusta.