Ricaviamo la metrica di uno spaziotempo sfericamente simmetrico in relatività generale.
Utilizziamo per adesso le coordinate euclidee $(t,x,y,z)=(t,\mathbf x)$. Intuitivamente diciamo che lo spaziotempo è sfericamente simmetrico se la metrica $ds^2$ soddisfa due condizioni:
- Gli unici differenziali che appaiono in $ds^2$ sono $dt^2$, $(d\mathbf x)^2$, $dt\, \mathbf x \cdot d\mathbf x$, $(\mathbf x \cdot d\mathbf x)^2$ ovvero gli unici sfericamente simmetrici e del second’ordine.
- I coefficienti dei differenziali dipendono solo da $t$ e $r = \sqrt{\mathbf x \cdot \mathbf x}$.
Per cui la metrica prende la forma:
$$ds^2 = -a(t,r) dt^2 + b(t,r) (d\mathbf x)^2 + c(t,r) dt\, \mathbf x \cdot d\mathbf x + d(t,r) (\mathbf x \cdot d\mathbf x)^2$$
Questa metrica può essere semplificata notevolmente passando in coordinate sferiche,
$$\begin{cases}
x = r \sin{\theta}\cos{\phi}\\
y = r \sin{\theta}\sin{\phi}\\
z = r \cos{\theta}
\end{cases}$$
Per cui otteniamo
$$\mathbf x \cdot d\mathbf x = \frac{1}{2} d (\mathbf x)^2 = \frac{1}{2} dr^2 = r dr\\
(d\mathbf x)^2 = dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2{\theta}d\phi^2) = dr^2 + r^2 d\Omega^2$$
Quindi raccogliendo i termini simili otteniamo:
$$ds^2 = -\alpha(t,r) dt^2 + \beta(t,r) dt\,dr + \gamma(t,r) dr^2 + \delta(t,r) d\Omega^2 $$
dove abbiamo definito i nuovi coefficienti in modo da assorbire quelli precedenti. Possiamo poi eliminare l’orribile termine $dt\,dr$ ridefinendo la variabile $t$, ovvero ponendo $t = f(r,\tilde t)$ ed eliminando $t$ in favore di $\tilde t$, quindi:
$$dt = \pdv{f}{r}dr + \pdv{f}{\tilde t} d\tilde t$$
Sostituendo:
\begin{multline*}
ds^2 = -\alpha(t,r) \pqty{\pdv{f}{\tilde t}}^2 d\tilde t^2 + \bqty{\gamma(t,r) + \beta(t,r) \pdv{f}{r}-\alpha(t,r) \pqty{\pdv{f}{r}}^2} dr^2 +\\+\pdv{f}{\tilde t} \bqty{\beta(t,r)-2\alpha(t,r) \pdv{f}{r}} d\tilde t\,dr + \delta(t,r) d\Omega^2
\end{multline*}
Per cui possiamo eliminare il termine $dt\,dr$ se $f$ soddisfa:
$$\beta(t,r)-2\alpha(t,r) \pdv{f}{r}=0$$
Ma questa è un’equazione differenziale ordinaria che possiamo subito integrare per trovare $f$ dati $\alpha$ e $\beta$. Questa condizione può quindi essere sempre soddisfatta e la metrica diventa:
$$ds^2 = -\mu(t,r) dt^2 + \nu(t,r) dr^2 + \delta(t,r) d\Omega^2 $$
dove abbiamo assorbito tutti i coefficienti in $\mu$ e $\nu$ e abbiamo chiamato $\tilde t = t$, ricordando però che il nuovo $t$ è diverso dal precedente.
Possiamo compiere un’ultima semplificazione. Ponendo $t= \mathrm{costante}$, $r = \mathrm{costante}$ la metrica diventa:
$$ds^2 = \delta(t,r)(d\theta^2 + \sin^2{\theta}d\phi^2)$$
Per cui l’elemento di area è dato da $\sqrt{\det{g}}d\theta d\phi = \delta(t,r) \sin{\theta} d\theta d\phi$. Integrando su questa superficie otteniamo:
$$\int dA =\delta(t,r) \int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \sin{\theta} = 4\pi \delta(t,r) $$
Ma se lo spaziotempo è sfericamente simmetrico, una superficie con $t$ ed $r$ costanti dovrebbe essere una superficie sferica, la cui area è $4\pi R^2$. Per ottenere un’area in accordo con la simmetria sferica, dobbiamo quindi ridefinire la variabile $r$, ovvero scriviamo $\tilde r^2 = \delta(t,r)$.
Facendo questa sostituzione otterremo una metrica che contiene i differenziali $dt^2$, $d\tilde r^2$, $dt d\tilde r$ e $d\Omega^2$. Possiamo effettuare un’altra trasformazione della variabile $t$ come prima per rimuovere il termine $dt d\tilde r$, per cui rimuovendo le tildi otteniamo la forma finale della metrica:
$$ds^2 = -g(t,r)dt^2 + h(t,r) dr^2+r^2 d\Omega^2$$
che è la forma definitiva della metrica di uno spaziotempo sfericamente simmetrico.
Da notare che questa derivazione vale in qualsiasi numero di dimensioni; l’unico momento in cui abbiamo supposto $d=4$ è quando abbiamo scritto la formula esplicita per $d\Omega^2$, che è la metrica per una superficie sferica. Se volessimo la forma generale di una metrica in simmetria sferica in $d$ dimensioni, possiamo sostituire a $d\Omega^2$ la formula per la metrica di una $d-2$ sfera.