Guida alle conversioni in unità naturali

Le unità naturali sono le unità per cui $c=G=1$. Se ad esempio vogliamo convertire una pressione $p = 1000 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}}$ in unità naturali, come facciamo?

Il trucco è quello di considerare secondi, metri e chilogrammi come variabili. Ad esempio se $c^* = 299792458$ (senza unità) è il valore numerico della velocità della luce in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$, allora

$$c= 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, c=c^* \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{s} = c^* \mathrm{m}$$

Può sembrare strano la prima volta che lo si vede ma il metodo è perfettamente coerente. Se al contempo volessimo porre anche $G=1$ avremmo:

$$G= 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, G=G^* \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\, \mathrm{s}^2}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{kg} = \mathrm{m}\frac{G^* }{c^{*2}}$$

dove abbiamo usato $\mathrm{s} = c^* \mathrm{m}$. In questo modo abbiamo ottenuto il secondo e il chilogrammo in funzione del metro, per cui possiamo esprimere tutte le unità in funzione del metro.

Per cui tornando all’esempio della pressione, basta effettuare delle sostituzioni:

$$p = 1000 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} = 1000 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\,\mathrm{s^2}} = 1000 \frac{G^* }{c^{*4}} \frac{1}{\mathrm{m}^2}\approx 8,3 \cdot 10^{-42} \frac{1}{\mathrm{m}^2}$$

Possiamo anche cambiare le unità in $\mathrm{km}$:

$$p = 1000 \frac{G^* }{c^{*4}} \frac{1}{\mathrm{m}^2} = 1000 \frac{G^* }{c^{*4}} \frac{10^6}{(10^3\mathrm{ m})^2} = 1000 \frac{G^* }{c^{*4}} \frac{10^6}{\mathrm{km}^2}\approx 8,3 \cdot 10^{-36} \frac{1}{\mathrm{km}^2}$$

Per effettuare il processo inverso, basta seguire la stessa formula di cui sopra. Ad esempio se abbiamo effettuato dei calcoli numerici e abbiamo ottenuto un certo valore per una pressione in unità di $\mathrm{m}^{-2}$, per riconvertire nelle unità precedenti basta utilizzare l’uguaglianza appena ricavata:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} = \frac{G^* }{c^{*4}} \frac{1}{\mathrm{m}^2}$$

Per cui se la pressione ottenuta è $p_2 = 15 \frac{1}{\mathrm{m}^2}$ allora:

$$p_2 = 15 \frac{1}{\mathrm{m}^2} = 15 \frac{c^{*4}}{G^* }\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} \approx  1,8 \cdot 10^{45}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}}$$

La solfa è la stessa se volessimo anche imporre un ulteriore semplificazione. Ad esempio possiamo porre $M_{\odot} =1$, cioè la massa del sole è uguale a $1$. In questo caso:

$$M_{\odot}= 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, M_{\odot}=M_{\odot}^* \mathrm{kg}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{kg} = \frac{1}{M_{\odot}^*}$$

In questo caso il chilogrammo è espresso come unità assoluta, ma ciò non ci deve impaurire. Non cambia granché. In questo caso anche secondo e metro diventano unità assolute:

$$\mathrm{m} = \frac{c^{*2}}{G^* M_{\odot}^*}\\ \mathrm{s} = \frac{c^{*3}}{G^* M_{\odot}^*}$$

Possiamo quindi esprimere le unità della pressione in termini assoluti:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} = \frac{G^{*3} M_{\odot}^{*2}}{c^{*8}}$$

Per cui anche la pressione di prima diventa:

$$p = 1000 \frac{G^* }{c^{*4}} \frac{1}{\mathrm{m}^2} = 1000\frac{G^{*3} M_{\odot}^{*2}}{c^{*8}}\approx 1,80 \cdot 10^{-35}$$

La procedura per riportare le unità a quelle originali è identica. Invece di imporre $M_{\odot} =1$ possiamo imporre allo stesso modo $\hbar = 1$, e anche questo vincolo pone una scala assoluta per il chilogrammo.