In relatività ristretta e generale possiamo classificare i vettori in tre tipi:
- tipo tempo, se hanno modulo negativo;
- tipo spazio, se hanno modulo positivo;
- tipo luce, o nulli, se hanno modulo nullo;
dove abbiamo preso la metrica $(-,+,+,+)$. Ricordiamo che il vettore zero è l’unico vettore che non appartiene a nessuna delle tre classi.
Poiché il quadrato di un vettore è un invariante di Lorentz, la classificazione è indipendente dal sistema di riferimento. Questa semplice classificazione porta con sé delle notevoli restrizioni sulle possibili relazioni di ortogonalità tra vettori. In particolare abbiamo:
Teorema (causalità tra vettori e ortogonalità). In una varietà lorentziana,
- Un vettore tipo tempo può essere ortogonale solo a vettori tipo spazio;
- Un vettore tipo luce può essere ortogonale solo a vettori tipo tempo o tipo luce; inoltre due vettori tipo luce ortogonali sono proporzionali.
- Un vettore tipo spazio può essere ortogonale a ognuno dei tre tipi di vettore.
Il resto dell’articolo consiste in una dimostrazione di questo fatto. Una conseguenza del teorema è che una superficie la cui normale è tipo tempo ha tutti i vettori tangenti tipo spazio.
Due vettori tipo tempo
Cominciamo col primo risultato. Prendiamo due quadrivettori $X$ e $Y$. L’idea sarebbe di prendere una base in cui $X = (1,0,0,0)$, tuttavia non è detto che questa trasformazione sia una trasformazione di Lorentz, cioè non è detto che preservi la metrica. Però possiamo andarci vicino.
Dato $X$ possiamo ruotare gli assi in modo tale che $X = (X^0, X^1,0,0)$. Quest’operazione è permessa perché le rotazioni sono trasformazioni di Lorentz. A questo punto possiamo effettuare una spinta lungo l’asse $x$:
$$\begin{pmatrix}\tilde{X}^0 \\ \tilde{X}^1 \\ \tilde{X}^2 \\ \tilde{X}^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma(X^0-\beta X^1) \\ \gamma(X^1-\beta X^0) \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$
Ora rimuoviamo la componente $x$ ponendo $\beta = X^1/X^0$. Poiché $\beta = v/c$ è minore di $1$ in valore assoluto dobbiamo avere $\beta^2 < 1$, cioè $X_1^2 < X_0^2$. Ma questa è esattamente la condizione che $X$ sia tipo tempo. Per cui possiamo prendere spudoratamente $X = (X^0, 0,0,0)$. L’ultima osservazione è che scalare un vettore per una costante non ne cambia le proprietà di ortogonalità, per cui possiamo anche prendere $X = (1, 0,0,0)$.
A questo punto la dimostrazione del primo punto è facile. Dati $X$ e $Y$ tipo tempo, possiamo scegliere $X = (1,0,0,0)$. Allora in generale $Y=(Y^0,Y^1,Y^2,Y^3)$; per ipotesi $Y$ è tipo tempo:
$$Y^2 = \eta_{\mu\nu} Y^\mu Y^\nu = -(Y^0)^2+(Y^1)^2+(Y^2)^2+(Y^3)^2<0$$
Ovvero
$$(Y^0)^2>(Y^1)^2+(Y^2)^2+(Y^3)^2\geq 0$$
Pertanto $Y^0 \neq 0$. Infatti se al contrario $Y^0 = 0$ allora per la disuguaglianza appena ricavata vale anche $(Y^1)^2+(Y^2)^2+(Y^3)^2=0$ per cui tutti i componenti di $Y$ sono nulli e cadiamo in contraddizione: $Y$ è il vettore zero, che non è tipo tempo.
Adesso possiamo calcolare il prodotto interno con $X$:
$$X \cdot Y = \eta_{\mu\nu} X^\mu Y^\nu = -Y^0 \neq 0$$
Per cui se $X$ e $Y$ sono tipo tempo, allora $X \cdot Y \neq 0$, quindi $X$ e $Y$ non sono ortogonali.
Un vettore tipo tempo e un vettore nullo
Dati due vettori $X$ e $Y$, in cui $X$ è tipo tempo e $Y$ è nullo, vogliamo dimostrare che non sono ortogonali. Come sopra, possiamo prendere $X = (1,0,0,0)$. Quindi poiché $Y$ è nullo:
$$(Y^0)^2 = (Y^1)^2+(Y^2)^2+(Y^3)^2$$
Ma poiché $Y$ non è il vettore zero, allora $Y^0 \neq 0$. Quindi anche $X \cdot Y = Y^0 \neq 0$, per cui $X$ e $Y$ non sono ortogonali.
Un vettore tipo tempo e un vettore tipo spazio
Questi palesemente possono essere ortogonali: basta prendere ad esempio $(1,0,0,0)$ e $(0,1,1,1)$.
Due vettori nulli
Dati $X$, $Y$ nulli, se sono ortogonali allora sono proporzionali.
Possiamo di nuovo ruotare le componenti di $X$ in modo tale che $X = (X^0, X^1,0,0)$. Ma poiché $X$ è nullo allora necessariamente $X^0 = \pm X^1$. Scalando possiamo ridurci ai due casi $X = (1, \pm 1,0,0)$. Possiamo scalare anche in questo caso: moltiplicare un vettore per una costante non cambia il fatto che due vettori sono proporzionali. Consideriamo solo il caso in cui $X = (1, 1,0,0)$, dato che l’altro è identico.
Le componenti di $Y$ sono $Y = (Y^0,Y^1,Y^2,Y^3)$. Per ipotesi i due sono ortogonali, quindi $X \cdot Y = -Y^0 + Y^1=0$ per cui $Y^0 = Y^1$. Inoltre, poiché $Y$ è nullo:
$$(Y^0)^2 = (Y^1)^2+(Y^2)^2+(Y^3)^2$$
E poiché $Y^0 = Y^1$ allora $(Y^0)^2 = (Y^1)^2$ e quindi $(Y^2)^2+(Y^3)^2=0$, ovvero $Y^2=Y^3 = 0$. Quindi $Y = (Y^0, Y^0, 0, 0) \propto X$, per cui $Y$ è proporzionale a $X$.
Un vettore nullo e un vettore tipo spazio
Questi possono essere ortogonali: basta prendere ad esempio $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$.
Due vettori tipo spazio
Anche qui è palese che possano essere ortogonali: basta prendere ad esempio $(0,1,0,0)$ e $(0,0,1,0)$.