In un gruppo abeliano, per definizione, tutti i suoi elementi commutano tra loro. In un gruppo non abeliano ciò non è vero, cioè esiste almeno una coppia di elementi che non commuta. Tuttavia, sembra alquanto improbabile che una sola coppia di elementi non commuti. Quest’intuizione è confermata dal teorema dei cinque ottavi, secondo cui almeno cinque coppie di elementi su otto commutano, allora tutte commutano, cioè il gruppo dev’essere abeliano. In altre parole, in un gruppo non abeliano, almeno $3/8$ delle coppie di elementi non commuta (e quindi non è possibile che esista una sola coppia di elementi che non commuta). Per l’esposizione, seguiamo questo articolo di John Baez.
Numero di elementi del centro
Prima di tutto, rispondiamo alla domanda: quanto può essere grande il centro di un gruppo non abeliano? Il centro $Z(G)$ di un gruppo $G$ è l’insieme degli elementi di $G$ che commutano con tutti gli altri, ed è sempre un sottogruppo normale. Chiaramente se $G$ è abeliano, $Z(G)=G$. Se invece $G$ non è abeliano, ci saranno degli elementi in $G$ che non sono in $Z(G)$. Qual è il massimo numero di elementi che $Z(G)$ può avere? Sappiamo dal teorema di Lagrange che il suo indice $[G:Z] = |G|/|Z|$ è un intero. Vogliamo massimizzare la grandezza del centro, quindi vogliamo minimizzarne l’indice: proviamo quindi gli interi più piccoli. Possiamo subito escludere $[G:Z]=1$ perché in tal caso $G=Z(G)$ e quindi $G$ sarebbe abeliano.
Se invece $[G:Z]=2$ allora il gruppo quoziente $G/Z$ ha ordine $2$, e quindi è necessariamente $\mathbb{Z}_2$. Sappiamo però che se il quoziente $G/Z$ è un gruppo ciclico, allora $G$ è abeliano. Infatti poiché $G/Z$ è ciclico, sarà generato da uno dei suoi elementi, diciamo $x Z \in G/Z$, dove $x \in G$. Ora, dato un elemento qualsiasi $g \in G$, sappiamo che $gZ \in G/Z$ per definizione, e poiché $xZ$ genera $G/Z$ allora necessariamente $g Z = x^m Z$ per un qualche $m$. Ma ciò significa che esiste un elemento $z \in Z$ tale che $g = x^m z$. Quindi prendendo un altro elemento $h \in G$ allora $h = x^n z’$, dove $z’ \in Z$ e pertanto $gh = x^m z x^n z’ = x^{m+n} z z’ = x^n z’ x^m z = hg$ dove abbiamo usato il fatto che $z,z’$ commutano con tutti gli elementi di $G$. Quindi $G$ è abeliano. Ritornando all’inizio, se $G/Z$ ha ordine $2$ è per forza $\mathbb{Z}_2$, che è ciclico, e pertanto $G$ è abeliano. Pertanto possiamo escludere questo caso.
Per lo stesso motivo possiamo escludere il caso $[G:Z]=3$, perché l’unico gruppo di ordine $3$ è $\mathbb{Z}_3$, che è ciclico.
Resta quindi il caso $[G:Z]=4$, che può funzionare perché esistono due gruppi di ordine quattro: $\mathbb{Z}_4$ e $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$, il secondo dei quali non è abeliano. Possiamo infatti verificare che esiste un gruppo non abeliano $G$ tale che $[G:Z]=4$, ovvero i quaternioni, cioè il gruppo
$$Q_8 = \langle i, j, k | i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, \rangle$$
ovvero in altri termini:
$$Q_8 = \{ \pm 1,\pm i,\pm j, \pm k \}$$
Gli unici elementi che commutano con tutti gli altri sono $\pm 1$, quindi $Z(Q_8) = {\pm 1}$ e il quoziente $G/Z$ ha ordine $4$. L’effetto del quoziente è di identificare $1$ e $-1$ e quindi di ignorare la distinzione tra segno positivo e negativo. Perciò $G/Z = \{1,i,j,k\}$ con $i^2=j^2=k^2=ijk=1$. Quindi in particolare $k=ij$ e $G/Z \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
Quindi il centro di un gruppo non abeliano è al massimo $1/4$ del gruppo, e il limite è raggiunto ad esempio dai quaternioni.
Numero di elementi del centralizzatore
Come ultimo breve passaggio prima della dimostrazione vera e propria, consideriamo il centralizzatore $C(g)$ di un elemento $g \in G$, cioè l’insieme degli elementi di $G$ che commutano con $g$. Quanto può essere grande il centralizzatore? Abbiamo due opzioni: se $g \in Z(G)$, allora $g$ commuta con tutto $G$ e quindi $C(g) = G$. Se invece non è nel centro, quanto grande può essere? Seguiamo lo stesso ragionamento di prima. $C(g)$ è un sottogruppo di $G$, quindi $|G|/|C(g)|$ è un intero per il teorema di Lagrange. Pertanto volendone massimizzare la grandezza, dobbiamo prendere gli indici più piccoli, quindi partiamo da $2$. Esiste un gruppo con un centralizzatore di indice $2$? La risposta è sì, ed è di nuovo i quaternioni. Infatti $C(i) = \{\pm 1, \pm i\}$, quindi $|Q_8|/|C(i)|=2$. Pertanto in un gruppo non abeliano il centralizzatore di un elemento che non è nel centro è al massimo la metà del gruppo.
Tornando al teorema
Siamo pronti per dimostrare il teorema. Supponiamo di avere un gruppo non abeliano $G$ e prendiamone due elementi $g,h$. Abbiamo due casi: se $g \in Z(G)$ allora $g$ ed $h$ commutano con probabilità $1$; se invece $g$ non è nel centro, come abbiamo appena visto $C(g)$ può avere al massimo indice $2$, cioè al massimo $g$ commuta con metà degli elementi di $G$, per cui la probabilità che $g$ ed $h$ commutino è al massimo $1/2$. Mettendo insieme i pezzi, sappiamo che $g \in Z(G)$ con probabilità al massimo $1/4$ per cui in totale la probabilità che commutino è:
$$\mathbb{P}(gh=hg)\leq\frac{1}{4}\cdot 1 + \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$$
Pertanto in un gruppo non abeliano la probabilità che due elementi a caso commutino è al massimo $5/8$. Non sono a conoscenza di particolari applicazioni di questo teorema, ma è un risultato affascinante.