Nello studio delle rappresentazioni di un gruppo o di un’algebra, le rappresentazioni irriducibili svolgono un ruolo particolare: sono infatti i “mattoni” con cui costruire le altre rappresentazioni. Esistono però alcuni casi in cui una rappresentazione è riducibile, nella definizione per cui ha un sottospazio invariante, e nonostante ciò non può essere spezzata nella somma diretta di due altre rappresentazioni.
Due definizioni standard:
Definizione. Una rappresentazione è irriducibile se non ammette sottospazi invarianti non banali.
Definizione. Una rappresentazione è riducibile se ha un sottospazio invariante non banale, ovvero se non è irriducibile.
Vogliamo inoltre distinguere il caso di cui abbiamo appena parlato:
Definizione. Una rappresentazione è completamente riducibile se può essere scritta come somma diretta di rappresentazioni irriducibili.
La nostra domanda è: esistono rappresentazioni riducibili, ma non completamente riducibili? La risposta è sì, e lo vediamo studiando le rappresentazioni di $\mathbb{Z}$ come gruppo additivo.
$\mathbb{Z}$ come gruppo additivo è il gruppo degli interi la cui operazione è data dalla somma usuale. L’inversa di $n$ è $-n$ e l’elemento neutro è $0$. Una rappresentazione bidimensionale di $\mathbb{Z}$ è la seguente:
$$D_2(x) = \begin{pmatrix}1 & x\\0 & 1\end{pmatrix}$$
Questa è una rappresentazione di $\mathbb{Z}$ in $\mathrm{GL}(2, \mathbb{R})$ e infatti possiamo verificare che $D_2(x)D_2(y) = D_2(x+y)$.
Questa rappresentazione è riducibile? La risposta è sì. Lo spazio di rappresentazione è $\mathbb{R}^2$ perché è una rappresentazione reale bidimensionale. Consideriamo il sottospazio $W = \mathrm{span} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$. Poiché
$$D_2(x) \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & x\\0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$$
Per cui $W$ è un sottospazio invariante, e concludiamo che la rappresentazione $D_2$ è riducibile. Possiamo spezzarla nella somma diretta di due rappresentazioni? Cerchiamo di capirlo. Poiché $D_2$ è bidimensionale, se può essere spezzata lo sarà in due rappresentazioni monodimensionali. Studiamo quindi le rappresentazioni monodimensionali di $\mathbb{Z}$.
Una rappresentazione monodimensionale di $\mathbb{Z}$ è una funzione $D : \mathbb{Z} \to \mathrm{GL}(1, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}-\{0\}$ tale che $D(x)D(y) = D(x+y)$.
Ponendo $x=y=0$ otteniamo $D(0) = D(0)^2$ per cui $D(0)=0$ o $D(0)=1$. Tuttavia $0$ non è nel codominio, per cui concludiamo che $D(0)=1$. Inoltre utilizzando piu volte l’ultima formula otteniamo $D(nx)=D(x)^n$. Ponendo $x=1$ oppure $x=-1$ otteniamo $D(n)=D(1)^n$ e $D(-n)=D(-1)^n$. Ponendo invece $x=1$, $y=-1$ nella formula iniziale otteniamo $D(1)D(-1)=D(0)=1$ e concludiamo $D(z)=D(1)^z$ per $z\in \mathbb{Z}$. Questa è una rappresentazione qualsiasi cosa sia $D(1)$ per cui abbiamo tante rappresentazioni diverse, tutte della forma:
$$D(x) = a^x$$
dove $a$ è un numero reale arbitrario. Queste rappresentazioni sono monodimensionali, per cui sono tutte irriducibili e inequivalenti. In particolare per $a=1$ abbiamo la rappresentazione banale. Da nessuna parte abbiamo utilizzato che $a$ è reale, per cui in realtà tutte le rappresentazioni monodimensionali complesse, cioè su $\mathrm{GL}(1, \mathbb{C}) \cong \mathbb{C}-\{0\}$ sono date dalla stessa formula, dove però $a \in \mathbb{C}$.
Torniamo al problema principale. Ora se $D_2$ fosse equivalente alla somma diretta di due rappresentazioni monodimensionali, dovremmo avere:
$$S^{-1} D(x) S = \begin{pmatrix}k^x & 0\\0 & l^x\end{pmatrix}$$
dove $k$ ed $l$ sono numeri reali. Ovvero in altri termini:
$$\begin{pmatrix}1 & x\\0 & 1\end{pmatrix} S = S \begin{pmatrix}k^x & 0\\0 & l^x\end{pmatrix}$$
Scegliendo una matrice generica $S$:
$$S=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$$
e facendo i calcoli otteniamo:
$$\begin{pmatrix}1 & x\\0 & 1\end{pmatrix} S = \begin{pmatrix}1 & x\\0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+cx & b+dx\\c & d\end{pmatrix} $$
$$S \begin{pmatrix}k^x & 0\\0 & l^x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k^x & 0\\0 & l^x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a k^x & b l^x\\c k^x & d l^x\end{pmatrix}$$
per cui l’uguaglianza vale se:
$$\begin{cases}a+cx = a k^x \\ b+dx = b l^x \\ c = c k^x \\ d = d l^x \end{cases}$$
Ma ciò è chiaramente impossibile: infatti perché le ultime due equazioni siano valide per ogni $x$ è necessario che $c=d=0$, il che implica che $S$ non è invertibile. Per cui non esiste nessun $S$ invertibile che collega le due rappresentazioni, e pertanto concludiamo che $D_2$ non è scrivibile come somma diretta. In particolare $D_2$ è quindi una rappresentazione riducibile ma non completamente riducibile.
Questo comportamento avviene per il seguente motivo: data una qualche rappresentazione $D$ su uno spazio $V$, per definizione $D$ è riducibile se ha un sottospazio invariante, diciamo $W$. Pertanto avremo anche un sottospazio $W’$ tale che $W \oplus W’ = V$. Il punto è che non è detto che $W’$ sia invariante. Se $W’$ è invariante, allora abbiamo le due restrizioni della rappresentazione ai due sottospazi, $D \lvert_W$ e $D\lvert_{W’}$ e queste sono entrambe rappresentazioni, per cui $D = D \lvert_W \oplus D\lvert_{W’}$. Se invece $W’$ non è invariante, allora $D\lvert_{W’}$ non è una rappresentazione (perché $D$ applicata ad un vettore in $W’$ non finisce necessariamente in $W’$) e quindi la scomposizione non ha senso.
Nel caso precedente, avevamo $W = \mathrm{span} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ per cui $W’ = \mathrm{span} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$. Tuttavia
$$D_2(x) \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & x\\0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x \\ 1\end{pmatrix} \not\in W’$$
e quindi $W’$ non è invariante. Tutto questo fenomeno è controintuitivo, eppure molto reale: avviene in generale quando una rappresentazione ha un sottospazio invariante, ma il complemento del sottospazio non è invariante.
È importante notare che esistono due casi notevoli in cui il fenomeno sopra non può avvenire, cioè casi in cui ogni rappresentazione è riducibile è anche completamente riducibile. Ciò vale
- per tutti i gruppi finiti
- per le algebre di Lie semisemplici
ma in generale non vale per i gruppi infiniti come $\mathbb{Z}$.