Formula chiusa per l’energia di un gas libero relativistico

L’hamiltoniana per una particella libera relativistica è data da:

H=p2x+p2y+p2z+m2

Per ricavare l’energia di un gas di particelle relativistico dovremmo calcolare la funzione di partizione

Z=dΩeβH

ma la forma dell’hamiltoniana rende estremamente difficile il calcolo di questo integrale. Invece utilizziamo il teorema di equipartizione, per cui data una variabile canonica ξ abbiamo:

ξHξ=kBT

Il teorema può essere applicato ai tre momenti px, py e pz separatamente, ottenendo:

p2xH=kBT

e altre due analoghe espressioni per py e pz. Sommando le tre otteniamo:

p2x+p2y+p2zH=3kBTHm21H=3kBT

Ora se la massa è trascurabile, ovvero nel caso cosiddetto ultrarelativistico, possiamo porre m=0 e quindi H=3kBT. Altrimenti dobbiamo ottenere un’espressione per il termine orrendo 1H. Possiamo provarci calcolandone la derivata:

β1H=β[1ZdΩ1HeβH]==1Z2ZβdΩ1HeβH1ZdΩeβH==logZβ1ZdΩ1HeβH1==H1H1==m21H2+3kBT1H1

Ovvero, ponendo x=β e y=1H abbiamo l’equazione differenziale

y=m2y2+3xy1

Questa è un’equazione di Riccati che può essere risolta con metodi standard. Semplicemente la mettiamo dentro Wolfram Alpha e otteniamo la soluzione:

y=1m2c[12imx2(J1J3)+2xJ2]12imx2(Y1Y3)+2xY2x2(cJ2+Y2)

dove Jn=Jn(imx), Yn=Yn(imx) e le Jn e Yn sono le funzioni di Bessel, mentre c è una costante di integrazione. La formula può essere manipolata nella forma seguente:

m2y=2x12im(cJ1Y1)(cJ3Y3)cJ2+Y2

Rimane da eliminare la costante. y deve essere reale e positiva. Per ottenere una condizione necessaria calcoliamone il limite all’infinito. Utilizzando le proprietà asintotiche delle funzioni di Bessel (o anche solo Wolfram Alpha, dividendo sopra e sotto per Y2) abbiamo

m2y12im(ci)(c+i)ci+1=imcici+1=mcici

Se ci allora possiamo semplificare e otteniamo che il limite è negativo; ma sappiamo che 1/H è positivo, per cui ciò non può succedere. Pertanto c=i e quindi otteniamo invece un’espressione valida:

m2y=2x+12mJ1J3+iY1iY3iJ2+Y2

Utilizzando le proprietà delle funzioni di Bessel (date da Wolfram Alpha), questa espressione può essere ulteriormente semplificata:

m2y=mK1(mx)K2(mx)

dove le Kn sono le funzioni di Bessel modificate. In particolare nel nostro caso poiché mx è sempre reale e positivo, entrambe K1 e K2 sono anch’esse reali e positive. Abbiamo inoltre le seguenti espressioni integrali:

Kn(mx)=0emxcoshtcoshntdt

Per cui otteniamo in totale:

H=3kBT+mK1(m/kBT)K2(m/kBT)

Utilizzando le formule standard per le equazioni di Bessel, otteniamo che per T0 Hm, cioè l’unica forma di energia a temperatura nulla è la massa a riposo. Invece per T abbiamo H=3kBT+O(1T), cioè ad alte temperature il gas si avvicina sempre di più al gas ultrarelativistico.

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