L’hamiltoniana per una particella libera relativistica è data da:
H=√p2x+p2y+p2z+m2
Per ricavare l’energia di un gas di particelle relativistico dovremmo calcolare la funzione di partizione
Z=∫dΩe−βH
ma la forma dell’hamiltoniana rende estremamente difficile il calcolo di questo integrale. Invece utilizziamo il teorema di equipartizione, per cui data una variabile canonica ξ abbiamo:
⟨ξ∂H∂ξ⟩=kBT
Il teorema può essere applicato ai tre momenti px, py e pz separatamente, ottenendo:
⟨p2xH⟩=kBT
e altre due analoghe espressioni per py e pz. Sommando le tre otteniamo:
⟨p2x+p2y+p2zH⟩=3kBT⟹⟨H⟩−m2⟨1H⟩=3kBT
Ora se la massa è trascurabile, ovvero nel caso cosiddetto ultrarelativistico, possiamo porre m=0 e quindi ⟨H⟩=3kBT. Altrimenti dobbiamo ottenere un’espressione per il termine orrendo ⟨1H⟩. Possiamo provarci calcolandone la derivata:
∂∂β⟨1H⟩=∂∂β[1Z∫dΩ1He−βH]==−1Z2∂Z∂β∫dΩ1He−βH−1Z∫dΩe−βH==−∂logZ∂β1Z∫dΩ1He−βH−1==⟨H⟩⟨1H⟩−1==m2⟨1H⟩2+3kBT⟨1H⟩−1
Ovvero, ponendo x=β e y=⟨1H⟩ abbiamo l’equazione differenziale
y′=m2y2+3xy−1
Questa è un’equazione di Riccati che può essere risolta con metodi standard. Semplicemente la mettiamo dentro Wolfram Alpha e otteniamo la soluzione:
y=−1m2c[12imx2(J1−J3)+2xJ2]−12imx2(Y1−Y3)+2xY2x2(cJ2+Y2)
dove Jn=Jn(imx), Yn=Yn(−imx) e le Jn e Yn sono le funzioni di Bessel, mentre c è una costante di integrazione. La formula può essere manipolata nella forma seguente:
m2y=−2x−12im(cJ1−Y1)−(cJ3−Y3)cJ2+Y2
Rimane da eliminare la costante. y deve essere reale e positiva. Per ottenere una condizione necessaria calcoliamone il limite all’infinito. Utilizzando le proprietà asintotiche delle funzioni di Bessel (o anche solo Wolfram Alpha, dividendo sopra e sotto per Y2) abbiamo
m2y→−12im(c−i)−(−c+i)ci+1=−imc−ici+1=−mc−ic−i
Se c≠i allora possiamo semplificare e otteniamo che il limite è negativo; ma sappiamo che 1/H è positivo, per cui ciò non può succedere. Pertanto c=i e quindi otteniamo invece un’espressione valida:
m2y=−2x+12mJ1−J3+iY1−iY3iJ2+Y2
Utilizzando le proprietà delle funzioni di Bessel (date da Wolfram Alpha), questa espressione può essere ulteriormente semplificata:
m2y=mK1(mx)K2(mx)
dove le Kn sono le funzioni di Bessel modificate. In particolare nel nostro caso poiché mx è sempre reale e positivo, entrambe K1 e K2 sono anch’esse reali e positive. Abbiamo inoltre le seguenti espressioni integrali:
Kn(mx)=∫∞0e−mxcoshtcoshntdt
Per cui otteniamo in totale:
⟨H⟩=3kBT+mK1(m/kBT)K2(m/kBT)
Utilizzando le formule standard per le equazioni di Bessel, otteniamo che per T→0 ⟨H⟩→m, cioè l’unica forma di energia a temperatura nulla è la massa a riposo. Invece per T→∞ abbiamo ⟨H⟩=3kBT+O(1T), cioè ad alte temperature il gas si avvicina sempre di più al gas ultrarelativistico.