Supponiamo di avere a disposizione un qualche modo per viaggiare ad una velocità maggiore di quella della luce. Allora è anche possibile il viaggio nel tempo, cosa che contraddice la nostra idea di causalità.
L’esperimento è il seguente. Il pianeta $A$ e il pianeta $B$ si trovano ad una distanza $l$ l’uno dall’altro, hanno un moto relativo: i due si allontanano l’uno dall’altro ad una velocità $v_p < c$. Supponiamo di viaggiare dal pianeta $A$ al pianeta $B$ con la nostra astronave superluminale ad una velocità pari a $v_a > c$. Nel sistema di riferimento di $A$, noi viaggiamo ad una velocità $v_a$ verso $B$, che nel frattempo si sta allontanando. Lo raggiungiamo quando
$$t_1 v_a = l + t_1 v_p \,\,\,\,\,\,\,\,\implies \,\,\,\,\,\,\,\,t_1=\frac{l}{v_a -v_p}$$
A questo punto ci fermiamo in $B$, invertiamo la rotta e torniamo verso $A$ con una velocità sempre pari a $v_a$, ma stavolta rispetto a $B$. Ovvero:
$$v_a’ = \frac{v_a-v_p}{1-v_a v_p/c^2}$$
Alla partenza ci troviamo ad una distanza $l’ = t_1 v_a = l + t_1 v_p$ rispetto ad $A$, quindi per tornare ci impieghiamo un tempo
$$t_2 = l’/v_a’ = t_1 v_a \frac{1-v_a v_p/c^2}{v_a-v_p}$$
Per cui in totale ci vuole:
$$t_{tot} = t_1 \left[ 1+ v_a \frac{1-v_a v_p/c^2}{v_a-v_p}\right]$$
Possiamo verificare che se
$$ \frac{v_a}{1+v_a^2 /c^2}<\frac{v_p}{2}$$
allora $t_{tot} < 0$, cioè siamo arrivati in $A$ prima di essere partiti. Ciò comporta degli strani fenomeni: ad esempio potrei in linea di principio sparare al me stesso che sta per partire.
Lo stesso ragionamento si applica alla relatività generale e a tutti i tipi concepibili di macchinari superluminali. Se vogliamo mantenere il principio di causalità, l’unica scappatoia possibile è che la relatività ristretta sia sbagliata, ovvero che uno degli assiomi su cui si basa si dimostrino falsi in un qualche contesto – cosa che al momento sembra difficile.
Quindi se accettiamo come vera la formula di addizione delle velocità in relatività ristretta, siamo costretti ad accettare la violazione della causalità come conseguenza dei viaggi superluminali. Ciò è problematico per il modo in cui funziona la nostra logica, tuttavia non assicura che sia fisicamente impossibile. È tuttavia difficile riuscire a concepire una fisica che si svolga all’esterno della logica come concepita da millenni, ed è pertanto difficile al momento credere che nel paradigma attuale della fisica sia possibile concepire il viaggio superluminale.