Abbiamo già studiato il comportamento quantistico di elettroni in un campo magnetico esterno e abbiamo visto un modello classico per la resistività dei materiali. In questo articolo calcoliamo la resistività elettrica di un sistema elettronico quantistico bidimensionale in presenza di un campo elettrico. Per definizione, la resistività è il tensore $\rho$ tale che:
$$\mathbf E = \rho \mathbf J$$
dove $\mathbf J$ è la densità di corrente e $\mathbf E$ il campo elettrico. Allo stesso modo avremmo potuto usare la conducibilità $\sigma = \rho^{-1}$. Dato un certo campo elettrico, calcoleremo la corrente risultante e quindi la resistività. Supponiamo, come negli articoli precedenti,
$$\mathbf E = E \hat{\mathbf{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{B} = B \hat{\mathbf{z}}$$
Poiché il sistema è bidimensionale ignoriamo la coordinata $z$. Supponiamo di aver riempito $N$ livelli di Landau e poniamo $q=-e$, la carica dell’elettrone. La corrente dovuta al singolo elettrone è:
$$\mathbf I=-e\dot{\mathbf{x}}=-\frac{e}{m}\pqty{\mathbf p+e\mathbf A}$$
Per cui sommando i contributi degli stati occupati dagli elettroni:
$$\mathbf I=-\frac{e}{m}\sum_{\psi}\bra{\psi}-i\hbar\nabla+e\mathbf A\ket{\psi}$$
Lavoriamo nel calibro di Landau, dove $\mathbf A = (0,x B, 0)$. Gli stati sono etichettati da $n$ (il livello di Landau) e da $p_y$ (l’autovalore dell’impulso lungo la direzione $y$):
$$\psi = C e^{i y p_y/ \hbar} H_n\left(x+\frac{p_y}{e B}-\frac{mE}{eB^2}\right) e^{-\left(x+\frac{p_y}{e B}-\frac{mE}{eB^2}\right)^2 eB/2\hbar}$$
dove $C$ è una costante di normalizzazione, la cui forma esatta non ci servirà.
Lungo la direzione $x$, la corrente è data da:
$$I_x = -\frac{e}{m}\sum_{n,p_y}\bra{\psi_{np_y}}-i\hbar\pdv{}{x}\ket{\psi_{np_y}}=0$$
che è nullo perché l’impulso medio di un’oscillatore armonico è nullo.
Lungo la direzione $y$ invece:
$$I_y = -\frac{e}{m}\sum_{n=1}^N\sum_{p_y}\bra{\psi_{np_y}}-i\hbar\pdv{}{y}+eBx\ket{\psi_{np_y}}$$
Guardando alla forma della funzione d’onda, otteniamo:
$$\bra{\psi_{np_y}}-i\hbar\pdv{}{y}\ket{\psi_{np_y}}=p_y$$
Il secondo termine invece è
$$eB\bra{\psi_{np_y}}x\ket{\psi_{np_y}}$$
ovvero è la posizione media dell’oscillatore armonico. Poiché l’oscillatore è traslato, la posizione media è il picco dell’esponenziale. Per cui
$$eB\bra{\psi_{np_y}}x\ket{\psi_{np_y}}=eB\pqty{-\frac{p_y}{e B}+\frac{mE}{eB^2}}=-p_y+\frac{mE}{B}$$
Il termine $-p_y$ cancella il $+p_y$ ottenuto sopra, e quindi in totale
$$I_y = -\frac{e}{m}\sum_{n=1}^N\sum_{p_y} \frac{mE}{B} $$
La somma su $n$ dà il numero di livelli di Landau pieni, cioè $N$, mentre la sommatoria su $p_y$ dà la degenerazione del singolo livello di Landau, che è $BAe/2\pi\hbar$. Per cui mettendo tutto insieme:
$$I_y=-\frac{e}{m}N\frac{BAe}{2\pi\hbar} \frac{mE}{B}=
-\frac{NAEe^2}{2\pi\hbar}$$
Pertanto la densità di corrente è data da:
$$\mathbf J = \begin{pmatrix}0 \\-\frac{NEe^2}{2\pi\hbar}\end{pmatrix}$$
Poiché il campo elettrico è nella direzione $x$, la resistività elettrica è data da:
$$\boxed{\rho = \frac{2\pi\hbar}{e^2}\frac{1}{N}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$$
(la proprietà $\rho_{yx}=-\rho_{xy}$ è generale) Vediamo che l’effetto del campo magnetico è la formazione di una corrente trasversale, un fenomeno che avevamo già visto nel caso classico: un campo elettrico nella direzione $x$ causa una corrente nella direzione $y$. Notiamo che la conducibilità $\sigma = \rho^{-1}$ ha anch’essa $\sigma_{xx}=0$. Per cui non c’è corrente nella direzione $x$ (poiché $\sigma_{xx}=0$), ma ciò non è dovuto a dissipazione di energia, che infatti è inesistente ($\rho_{xx}=0$).
Nel caso classico avevamo ottenuto per la resistività:
$$\rho_{\mathrm{class}} = \begin{pmatrix}\frac{m}{e^2 n \tau} & B/ne\\ – B/ne & \frac{m}{e^2 n \tau}\end{pmatrix}$$
Vediamo che la presenza di una resistività longitudinale nonnulla $\rho_{xx}\neq 0$ è dovuta al termine $\tau$, cioè allo sparpagliamento dovuto alle collisioni col disordine nel campione. Nella nostra analisi abbiamo ignorato il disordine e non c’è sorpresa che questo termine non appaia. Tuttavia la resistività trasversale data dal modello di Drude è identica a quella che abbiamo ottenuto qui se il campo magnetico è
$$B= \frac{2\pi\hbar n}{e}\frac{1}{N}$$
Questo è esattamente il campo magnetico necessario perché siano occupati $N$ livelli di Landau, come si può verificare dalla formula per la degenerazione.
Quest’ultima formula non indica però che la resistività è quantizzata. Essa è valida quando esattamente $N$ livelli di Landau sono pieni; se l’ultimo livello di Landau è riempito solo in parte, allora $N$ non è intero. In presenza di disordine, tuttavia, la resistività diventa effettivamente quantizzata, come vedremo in futuro.