La metrica di Schwarzschild è
$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right) dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 (d\theta^2+ \sin^2{\theta}\,d\phi^2)$$
L’energia ADM è data da:
$$E = \frac{1}{16\pi} \int_{\infty \in \Sigma} d S^i \,(\partial_j h_{ij}-\partial_i h_{jj})$$
dove $\Sigma$ è un’ipersuperficie tipo spazio e $\infty \in \Sigma$ è una superficie in $\Sigma$ all’infinito (in genere una sfera), mentre $h$ è la metrica su $\Sigma$. Purtroppo la formula vale solo per un sistema di coordinate asintoticamente cartesiano, ovvero il solito sistema $(x,y,z)$. La metrica di Schwarzschild è asintoticamente piatta, ma tende per $r\to \infty$ alla metrica di Minkowski in coordinate sferiche, per cui prima di usare la formula è necessario convertire le coordinate. Per cui trasformiamo Schwarzschild invertendo le coordinate sferiche:
$$\begin{cases}dr = (x dx + y dy + z dz)/r \\ d\Omega^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 -dr^2\end{cases}$$
dove la seconda uguaglianza segue perché la metrica euclidea in coordinate sferiche è appunto $dr^2 + r^2 d\Omega$. Sostituendo otteniamo la metrica di Schwarzschild in coordinate asintoticamente cartesiane:
$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right) dt^2 + \left(\frac{1}{\frac{r}{2M}-1}\right)\frac{(x\, dx+ y\,dy+z\,dz)^2}{r^2} + dx^2 + dy^2 + dz^2$$
A questo punto possiamo procedere al calcolo. Una superficie tipo spazio è data $t = \mathrm{costante}$, per cui la metrica su $\Sigma$ è data da:
$$ds^2 =\left(\frac{1}{\frac{r}{2M}-1}\right)\frac{(x\, dx+ y\,dy+z\,dz)^2}{r^2} + dx^2 + dy^2 + dz^2$$
Ovvero in formato matriciale:
$$h_{ij} = \left(\frac{1}{\frac{r}{2M}-1}\right) \frac{1}{r^2} \begin{pmatrix} x^2 & xy & xz \\ xy & y^2 & yz \\ xz & yz & z^2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Per cui possiamo calcolare gli oggetti che ci servono:
\begin{align*}
h_{jj} &= \left(\frac{1}{\frac{r}{2M}-1}\right) \frac{1}{r^2} (x^2+y^2 + z^2)+3=\frac{1}{\frac{r}{2M}-1}+3\\
\partial_i h_{jj} &= -\frac{1}{2rM\left(\frac{r}{2M}-1\right)^2} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\
\partial_j h_{ij} &= \partial_1 h_{i1}+ \partial_2 h_{i2} + \partial_3 h_{i3} =\frac{\frac{r}{2M}-2}{r^2 \left(\frac{r}{2M}-1\right)^2} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\end{align*}
Per cui mettendo insieme:
$$\partial_j h_{ij} -\partial_i h_{jj} = \frac{2}{r^2 \left(\frac{r}{2M}-1\right)}\begin{pmatrix}x \\ y\\ z \end{pmatrix}$$
Come superficie in $\Sigma$ scegliamo una superficie sferica di raggio $R$ e poi calcoliamo il limite per $R\to \infty$. La normale a questa superficie è $n^i = (x/r,y/r,z/r)$. Quindi sostituendo nell’energia:
\begin{align*}
E &= \frac{1}{16\pi}\lim_{R \to \infty} \int_{S(R)} d S\, n^i (\partial_j h_{ij}-\partial_i h_{jj}) = \\
&= \frac{1}{16\pi}\lim_{R \to \infty} \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta\, R^2 \sin\theta \frac{2}{R^2 \left(\frac{R}{2M}-1\right)}\frac{x^2+y^2+z^2}{R} = \\
&= \frac{1}{4}\lim_{R \to \infty}\frac{2}{\frac{R}{2M}-1}R = M
\end{align*}
Per cui $M$ è l’energia totale dello spaziotempo di Schwarzschild.