Consideriamo un’Hamiltoniana $H$ che dipende da un parametro $\lambda$, oltre che dalle variabili spaziali $\mathbf x$. Supponiamo che al tempo zero il sistema si trovi nell’$n$-esimo autostato dell’hamiltoniana, $\ket{n; \lambda(0)}$, e lasciamo variare lentamente il parametro $\lambda=\lambda(t)$. Cosa succede allo stato?
Lentamente significa che per ogni $t$ il sistema si trova nell’$n$-esimo autostato dell’Hamiltoniana $H(\lambda(t))$. Il teorema adiabatico ci garantisce che ciò avviene purché ci sia un divario energetico attorno ad $E_n$, ovvero purché ci sia un $\epsilon>0$ per cui non ci siano stati con energia compresa tra $E_n-\epsilon$ ed $E_n + \epsilon$. L’effetto della variazione del parametro è l’acquisizione di una fase nella funzione d’onda, detta fase di Berry. L’equazione di Schrodinger è
$$i\hbar\pdv{\ket{\psi}}{t}=H(\lambda(t))\ket{\psi}$$
Potremmo pensare che la soluzione sia data da:
$$\ket{\psi(t)} = \exp{\left[-\frac{i}{\hbar}\int_0^t E_n(\lambda(s))ds\right]}\ket{n; \lambda(t)}$$
Tuttavia sostituendo notiamo che la dipendenza temporale dello stato introduce un termine indesiderato. Potremmo cercare di sistemare la situazione mettendo $\ket{n; \lambda(0)}$ invece di $\ket{n; \lambda(t)}$, ma così $\psi$ non è più un’autofunzione dell’Hamiltoniana con energia $E_n(t)$, e quindi di nuovo non risolve l’equazione di Schrodinger.
Per trovare la vera soluzione introduciamo una fase arbitraria $\eta(t)$ nell’esponenziale, così che ora
$$\ket{\psi(t)} = \exp{\left[i\eta(t)-\frac{i}{\hbar}\int_0^t E_n(\lambda(s))ds\right]}\ket{n; \lambda(t)}$$
Sostituendo nell’equazione di Schrodinger, otteniamo che $\eta$ soddisfa
$$\frac{d\eta(t)}{dt}=i\bra{n; \lambda(t)}\frac{d}{dt}\ket{n; \lambda(t)}$$
la cui soluzione è data da:
$$\eta(t) = i\int_0^t \bra{n; \lambda(s)}\frac{d}{ds}\ket{n; \lambda(s)} ds$$
Cambiando variabile nell’integrale da $s$ a $\lambda$, otteniamo una formulazione equivalente:
$$\eta(t) = i\int_{\lambda(0)}^{\lambda(t)} \bra{n; \lambda}\frac{d}{d\lambda}\ket{n; \lambda} d\lambda$$
Se poi facciamo fare a $\lambda$ un cammino chiuso, cioè $\lambda(t)=\lambda(0)$, la fase corrispondente associata al cammino è detta fase di Berry:
$$\eta_C = i\oint_C \bra{n; \lambda}\frac{d}{d\lambda}\ket{n; \lambda} d\lambda$$
Integrando per parti è chiaro che $\eta$ è reale. Nel caso generale in cui il parametro $\lambda$ è un vettore, allora la fase di Berry è in modo molto simile
$$\boxed{\eta_C = i\oint_C \bra{n; \boldsymbol \lambda}\frac{\partial}{\partial \boldsymbol \lambda}\ket{n; \boldsymbol \lambda} \cdot d\boldsymbol\lambda}$$
Connessione e curvatura di Berry
Possiamo scrivere la fase di Berry come
$$\eta_C = \oint_C \mathbf A \cdot\,d\boldsymbol \lambda\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{dove}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathbf A = i\bra{n; \boldsymbol \lambda}\frac{\partial}{\partial \boldsymbol \lambda}\ket{n; \boldsymbol \lambda}$$
Il vettore $\mathbf A$ è detto connessione di Berry. Poiché l’integrale è su un cammino chiuso, $\mathbf A$ è definito solo a meno di una derivata totale, che non contribuisce all’integrale. Rimpiazzando cioè
$$\mathbf A \to \mathbf A + \nabla \Lambda$$
otteniamo la stessa $\eta$. Questa trasformazione della connessione di Berry è del tutto analoga alla trasformazione di calibro (gauge) del potenziale vettore in elettromagnetismo. Allora come in elettromagnetismo possiamo definire un tensore
$$F_{ij} = \partial_i A_j -\partial_j A_i$$
detto curvatura di Berry. I nomi non sono casuali: la connessione di Berry e la curvatura di Berry sono oggetti matematici naturali costruiti su fibrati principali. Possiamo esplicitare la fase di Berry in termini della curvatura, usando il teorema di Stokes:
$$\eta_C = \int_S F_{ij} dS^{ij}$$
dove $S$ è una qualsiasi superficie che ha per bordo $C$.
Un esempio di fase di Berry
Come esempio per la fase di Berry consideriamo l’Hamiltoniana di uno spin immerso in un campo magnetico:
$$H = -\mathbf B \cdot \sigma$$
Lo spin può assumere solo due valori: $+1$ e $-1$ e l’Hamiltoniana ha quindi due autostati, uno di energia $-B$ e l’altro di energia $+B$. Scrivendo il campo magnetico in coordinate sferiche otteniamo la forma matriciale dell’Hamiltoniana:
$$H = -B \begin{pmatrix} \cos{\theta} & e^{-i\phi}\sin{\theta}\\ e^{i\phi}\sin{\theta}& -\cos{\theta}\end{pmatrix}$$
e gli autostati sono dati da:
$$\ket{\uparrow} = \begin{pmatrix}e^{-i\phi}\cos{\theta/2}\\\sin{\theta/2}\end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ket{\downarrow} = \begin{pmatrix}e^{-i\phi}\sin{\theta/2}\\-\cos{\theta/2}\end{pmatrix}$$
Ora facciamo variare lentamente il campo magnetico partendo dallo stato con spin giù. I parametri che variano nell’Hamiltoniana sono gli angoli del campo $\theta$ e $\phi$. Pertanto, utilizzando la formula sopra, la connessione di Berry è data da:
$$A_{\theta} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A_{\phi} = \sin^2{\theta/2}$$
E quindi la curvatura di Berry è:
$$F_{\theta\phi} = \partial_\theta A_\phi -\partial_\phi A_\theta = \frac{1}{2}\sin{\theta}$$
Dato uno specifico cammino, possiamo anche calcolare la fase di Berry.