Il modello di Drude è il più semplice modello per la conduzione di elettroni nei solidi. Il singolo elettrone si muove in un campo elettromagnetico esterno e può andare a sbattere contro gli ioni nel solido. L’effetto degli ioni è modellato come una forza d’attrito, ovvero una forza proporzionale alla velocità. L’equazione del moto dell’elettrone è quindi:
$$m \frac{d\mathbf v}{dt}=-e(\mathbf E +\mathbf v \times \mathbf B)-m \frac{\mathbf v}{\tau}$$
Il termine d’attrito è $\propto m \mathbf v$ poiché è dovuto agli urti, e la forza dell’urto è proporzionale all’impulso dell’oggetto incidente. Il termine $\tau$ ci dev’essere per motivi dimensionali, e può essere interpretato come il tempo medio tra gli urti. La densità di corrente è data da $\mathbf J = -e n \mathbf v$, dove $n$ è la densità di elettroni per volume. In termini di $\mathbf J$ l’equazione è
$$m \frac{d\mathbf J}{dt} =e^2 n \mathbf E-e \mathbf J \times \mathbf B-\frac{m}{\tau}\mathbf J\tag{*}$$
Ora vediamo che succede in tre casi: corrente continua, corrente alternata e campo magnetico.
Corrente continua
In corrente continua $\mathbf B = 0$ e a regime $\frac{d\mathbf J}{dt}=0$, per cui $(*)$ si riduce a
$$\mathbf E = \frac{m}{e^2 n \tau} \mathbf J$$
Integrando quest’ultima equazione otteniamo la legge di Ohm. Abbiamo quindi per la resistività:
$$\rho_{CC} = \frac{m}{e^2 n \tau}$$
Non abbiamo modo di misurare la $\tau$, per cui il modello di Drude offre solo una predizione qualitativa della resistività, che tuttavia riproduce correttamente la legge di Ohm.
Corrente alternata
In corrente alternata di nuovo $\mathbf B = 0$. In questo caso inseriamo la dipendenza temporale come una fase esponenziale, ovvero $\mathbf E (t) = \mathbf E e^{-i\omega t}$ e $\mathbf J (t) = \mathbf J e^{-i\omega t}$ e quindi otteniamo di nuovo una relazione lineare tra campo e densità di corrente, ma stavolta la resistività è
$$\rho_{CA}=\rho_{CC} (1-i\omega \tau)$$
che puòe essere interpretata come un’impedenza.
Campo magnetico
In presenza di un campo magnetico, gli elettroni si comportano in modo più strano. A regime di nuovo $\frac{d\mathbf J}{dt}=0$ ma stavolta $\mathbf B \neq 0$. Per risolvere l’equazione traduciamo il prodotto vettoriale in un prodotto matriciale:
$$\mathbf J \times \mathbf B = \begin{pmatrix}0 & B_z & – B_y \\ – B_z & 0 & B_x \\ B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}J_x\\J_y\\J_z\end{pmatrix}$$
Per semplificare l’analisi ruotiamo le coordinate in modo tale che $\mathbf B = B \hat{\mathbf{z}}$, così otteniamo:
$$\mathbf E = \rho_B \mathbf J$$
$$\rho_B = \begin{pmatrix}\rho_{CC} & B/ne & 0 \\ – B/ne & \rho_{CC} & 0 \\ 0 & 0 & \rho_{CC} \end{pmatrix}$$
La resistività stavolta non è più un numero, ma una matrice. Ciò ha effetti particolari: una corrente in direzione $x$ può dar luogo ad un campo in direzione $y$. Ciò è dovuto al campo magnetico, che devia gli elettroni.