Un teorema utile in meccanica quantistica è il cosiddetto teorema adiabatico: se l’Hamiltoniana $H(t)$ cambia lentamente nel tempo, allora un sistema che si trova inizialmente nell’$n$-esimo livello energetico di $H(0)$ si troverà al tempo $t$ nell’$n$-esimo livello energetico di $H(t)$.
Adiabatico in questo caso ha un significato diverso che in termodinamica. In quel caso infatti significa “senza scambio di calore”, che spesso vuol dire “molto rapidamente”. Qui ha lo stesso significato di “invariante adiabatico”, cioè lento rispetto alla scala temporale tipica del sistema.
Cruciale per la validità del teorema è la presenza di un divario energetico: l’$n$-esimo livello deve essere separato energeticamente da quelli contigui. Pertanto, se il cambiamento è lento (infinitesimo), in un tempo piccolo l’autofunzione non riuscirà mai a fare un salto abbastanza grande da colmare il divario e ricadrà sempre nel suo livello energetico. D’altra parte, non importa se il cambiamento totale dell’Hamiltoniana sia piccolo o grande: l’importante è che avvenga lentamente.
La seguente dimostrazione segue Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, p. 324.
Per semplicità supponiamo che la parte dipendente dal tempo dell’Hamiltoniana sia della forma
$$H'(t) = V f(t)$$
dove $V$ è un operatore e $f$ una funzione. Supponiamo che il sistema evolva lentamente da $t=0$ a $t=T$. Chiamiamo $\ket{m}$ gli autostati di $H(0)$ e $\ket{m(t)}$ gli autostati di $H(t)$, cosicché $\ket{m(0)} = \ket{m}$. Supponiamo che la funzione d’onda del sistema $\Psi(t)$ si trovi inizialmente nell’$n$-esimo stato dell’Hamiltoniana:
$$\Psi(0) = \ket{n}$$
Prima di tutto trattiamo il caso in cui $V$ sia piccolo, così da poter usare la teoria delle perturbazioni. Al prim’ordine per le autofunzioni,
$$\ket{m(t)} = \ket{m} + \sum_{k\neq m}\frac{\bra{k}V\ket{m}}{E_m-E_k} \ket{k}+\order{V^2}$$
Mentre invece per la funzione d’onda del sistema l’evoluzione temporale è data da
$$\Psi(t) = \sum_l e^{-iE_l t/\hbar} c_l(t)\ket{l}+\order{V^2}$$
dove i coefficienti sono dati da:
$$c_l(t) = \delta_{ln}- \frac{i}{\hbar}\bra{l}V\ket{n}\int_0^t e^{i(E_l-E_n) t’/\hbar} f(t’)dt’$$
Per $l\neq n$ possiamo integrare per parti, ottenendo:
$$c_l(t)=-\frac{\bra{l}V\ket{n}}{E_l-E_n}\bqty{e^{i(E_l-E_n) t/\hbar} f(t)-\int_0^t e^{i(E_l-E_n) t’/\hbar} \dv{f(t’)}{t’}dt’}$$
dove abbiamo posto senza perdita di generalità $f(0)=0$ (se così non fosse possiamo ridefinire $f$ buttando il resto nella parte dell’Hamiltoniana che non dipende dal tempo). L’approssimazione adiabatica consiste poi nel supporre
$$\dv{f}{t} \ll \frac{|E_l-E_n|}{\hbar}f$$
ovvero che possiamo ignorare l’integrale in $c_l(t)$. Per cui otteniamo la seguente formula per la funzione d’onda al tempo $T$:
$$\Psi(T) = e^{-iE_n T/\hbar}\bqty{\pqty{1- \frac{i}{\hbar}\bra{l}V\ket{n}\int_0^T f(t’)dt’}\ket{n}-\sum_{l \neq n} f(T) \frac{\bra{l}V\ket{n}}{E_l-E_n}\ket{l}}+\order{V^2}$$
Pertanto
$$\braket{\Psi(T)}{n(T)} = e^{iE_n T/\hbar}\pqty{1+\frac{i}{\hbar}\bra{n}V\ket{l}\int_0^T f(t’)dt’} + \order{V^2}$$
e per $m\neq n$
$$\braket{\Psi(T)}{m(T)} = \order{V^2}$$
Quindi le probabilità di transizione sono:
$$\abs{\braket{\Psi(T)}{n(T)}}^2 = 1+\order{V^2}$$
$$\abs{\braket{\Psi(T)}{m(T)}}^2 =\order{V^4}$$
Pertanto il sistema rimane nello stesso livello energetico. Gli ordini esatti ci servono per estendere il risultato al caso in cui $V$ non sia piccolo. In tal caso, possiamo dividere $T$ in $N$ intervalli cosicché il cambiamento dell’Hamiltoniana in ognuno degli intervalli sia circa $V/N$. Per $N$ sufficientemente grande, il cambiamento sarà piccolo. La seconda ampiezza che abbiamo calcolato ha quindi l’andamento
$$\braket{\Psi(T)}{m(T)} \sim N \pqty{\frac{V}{N}}^2 = \frac{V^2}{N}\to 0$$
per $N$ grande a sufficienza. Per cui recuperiamo lo stesso risultato di sopra. È cruciale che l’ampiezza di probabilità sia corretta al second’ordine: se lo fosse stata al prim’ordine, avremmo avuto un’ampiezza $\sim N (V/N) = V$ non necessariamente piccola.