Abbiamo già ricavato le cosiddette equazioni di Tolman-Oppenheimer-Volkoff e abbiamo mostrato come da esse si può ricavare un limite alla massa del nucleo di una stella fredda. Il problema che ci poniamo adesso è di estendere questo limite alla massa dell’intera stella. Possiamo farlo numericamente: partendo dalla massa e dal raggio del nucleo e integrando le equazioni TOV verso l’esterno della stella otteniamo la massa totale.
Per fare ciò dobbiamo supporre un’equazione di stato del gas, e pertanto dobbiamo sapere da cosa è formato. Ci occupiamo del caso di una stella a neutroni. A densità elevate, superiori a ρN=5⋅1017kg/m3 non abbiamo idea di quale possa essere l’equazione di stato dei neutroni. La zona centrale in cui ρ>ρN è il nucleo della stella a neutroni, per il quale abbiamo ottenuto la massa limite nell’articolo precedente. Partendo dal nucleo, integriamo numericamente nell’inviluppo, cioè la regione in cui ρ<ρN, e dobbiamo conoscerne l’equazione di stato.
Secondo la fisica statistica un gas di fermioni non relativistico a bassa densità ha l’equazione di stato della forma:
p(ρ)=32/3π4/35ℏ2m8/3nρ5/3
dove mn è la massa del neutrone. In generale un’equazione della forma p=Kργ è detta politropica.
Ponendo c=G=1 possiamo esprimere tutti i valori in termini di km, per cui
ρN=5⋅1017kg/m3≈0,0003711km−2K=32/3π4/35ℏ2m8/3n≈288,6km4/3mNmax=4√243πρN≈7,52kmrNmax=1√3πρN≈16,9km
Le equazioni TOV diventano due equazioni in due incognite (m,ρ):
m′=4πr2ρρ′=−(Kρ+ρ2−γ)(mρ1−γ+4πr3Kρ)Kγr(r−2m)
e le derivate sono prese rispetto al raggio r. L’integrazione inizia dal raggio rN del nucleo centrale con il valore mN della massa centrale. Calcoliamo la soluzione numerica dell’equazione TOV per tutti i valori iniziali di rN ed mN che rispettino le disuguaglianze:
mN<29rN[1−6πr2Np(rN)+√1+6πr2Np(rN)]mN>43πr3NρN
ovvero per tutti i valori permessi della massa del nucleo e della densità. Impostiamo l’integratore numerico per fermarsi quando ρ=0, cioè quando la stella è finita.
L’area d’integrazione è rappresentata nel grafico seguente:
Un esempio tipico dell’andamento della massa e del raggio all’aumentare del raggio è mostrato nelle due figure seguenti:
Il risultato della simulazione numerica in cui l’equazione per la stella è stata risolta per circa 130k condizioni iniziali è invece mostrato nelle figure seguenti:
Come potete notare dal grafico, l’area d’integrazione è determinata dalle disuguaglianze sopraindicate, che dipendono da pN e quindi dall’equazione di stato e da ρN. Pertanto in questo caso il valore massimo che otteniamo per la massa (≈3,1km≈2,1M⊙) è minore del valore massimo previsto per il nucleo (≈5M⊙). Il calcolo va quindi ripetuto per diversi valori di ρN, il cui valore è scelto da noi in base al grado di fiducia che abbiamo nell’equazione di stato che utilizziamo. I risultati sono mostrati nei grafici successivi:
Variando la densità nucleare da 5⋅1015kg/m3 a 1018kg/m3 vediamo che per valori piccoli la massa massima della stella si avvicina alla massa massima del nucleo 7,52km≈5M⊙. Come mostra la seconda immagine, l’inviluppo costituisce sempre meno dell’1% della stella.
Ciò che mostra la presente simulazione è che l’inviluppo è irrilevante nella determinazione della massa limite di una stella a neutroni. Infatti, come mostrato nei grafici sopra, quando la massa del nucleo si avvicina ai suoi valori massimi, il nucleo costituisce più del 99% della massa della stella. Quindi il limite alla massa del nucleo 5M⊙ è anche la massa limite di una stella a neutroni: una stella più pesante di così è necessariamente un buco nero.
Ciò significa che nel tentativo di restringere ulteriormente il valore della massa limite di una stella a neutroni dobbiamo concentrarci sul trovare un valore limite alla massa del nucleo. Questo problema sarà affrontato nel prossimo articolo.