Nel precedente articolo abbiamo ricavato le equazioni che regolano il comportamento di una stella fredda. Da queste equazioni si può ricavare l’esistenza di un limite superiore alla massa di una stella fredda, come ad esempio una stella a neutroni: una stella più massiccia del limite dev’essere necessariamente un buco nero.
Le equazioni di Tolman-Oppenheimer-Volkoff sono:
\begin{align*}
\frac{dm}{dr} &= 4\pi r^2 \rho\\
\frac{d\Phi}{dr} &= \frac{m+4\pi r^3 p}{r(r-2m)}\\
\frac{dp}{dr} &= -(p+\rho) \Phi’\\
p &= p(\rho)
\end{align*}
Ricavando $p$ dalla seconda equazione e derivando otteniamo $dp/dr$ in funzione di $m, \Phi, r, \rho$. Possiamo quindi sostituire nella terza equazione ed eliminare $\rho$ usando la prima equazione: otteniamo un’equazione tra $\Phi, m, r$. Introducendo una variabile ausiliaria $\zeta = e^\Phi$ otteniamo la seguente equazione:
$$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r e^\Psi}\frac{d\zeta}{dr}\right) = e^\Psi \zeta \frac{d}{dr} \left(\frac{m}{r^3}\right)$$
dove $e^{-2\Psi} = 1-2m(r)/r$. Ora usando la prima equazione:
$$\frac{d}{dr} \left(\frac{m}{r^3}\right) = \frac{m’r-3m}{r^4} = 3V(r)\frac{ \rho(r)-\bar \rho(r)}{r^4}$$
dove $V(r)$ è il volume di una sfera di raggio $r$ e $\bar \rho(r)$ è la densità media da $0$ a $r$. Ora, la terza equazione dà $dp/dr<0$. Inoltre $dp/d\rho > 0$, poiché altrimenti la stella sarebbe instabile: una fluttuazione che incrementi $\rho$ in una regione diminuirebbe $p$, e quindi farebbe muovere il fluido verso la stessa regione aumentando la fluttuazione. Viceversa se $\rho$ diminuisce da qualche parte. Pertanto $dp/d\rho > 0$ per garantire la stabilità della stella. Quindi mettendo insieme queste due disuguaglianze abbiamo $d\rho/dr<0$, cioè $\rho$ decresce con $r$ e pertanto $\rho(r)\leq\bar \rho(r)$ e $(m/r^3)’\leq 0$. Quindi utilizzando l’equazione derivata prima,
$$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r e^\Psi}\frac{d\zeta}{dr}\right)\leq 0$$
Integrando tra $r_0$ e $r$, dove $r_0$ è un qualche numero $<r$:
$$\frac{1}{r e^{\Psi(r)}}\frac{d\zeta}{dr}\leq \frac{1}{r_0 e^{\Psi(r_0)}}\frac{d\zeta(r_0)}{dr_0}$$
Moltiplicando per $r_0 e^{\Psi(r_0)} dr_0$ e integrando rispetto ad $r_0$ tra $0$ e $r$:
$$\zeta(r)-\zeta(0) \geq \\
\geq\left(1-\frac{2m(r)}{r}\right)^{-1/2}\left(\frac{m(r)}{r^3}+4\pi p(r)\right)\zeta(r) \int_0^r r_0 \left(1-\frac{2m(r_0)}{r_0}\right)^{-1/2}dr_0\geq\\
\geq \left(1-\frac{2m(r)}{r}\right)^{-1/2}\left(\frac{m(r)}{r^3}+4\pi p(r)\right)\zeta(r) \int_0^r r_0 \left(1-\frac{2m(r)}{r^3}r_0^2\right)^{-1/2}dr_0=\\
= \zeta(r) \left(\frac{1}{2}+\frac{2\pi r^3 p(r)}{m}\right)\left[\left(1-\frac{2m(r)}{r}\right)^{-1/2}-1\right]$$
dove nel passare dalla prima alla seconda riga abbiamo esplicitato $\zeta’(r) = e^{\Phi}\Phi'(r)$ e usato la seconda equazione TOV, mentre nel passare dalla seconda alla terza riga abbiamo usato $r_0<r$ e $(m/r^3)'<0$. Raccogliendo $\zeta(r)$ e usando $\zeta = e^\Phi > 0$ otteniamo:
$$\left(\frac{1}{2}+\frac{2\pi r^3 p(r)}{m}\right)\left[\left(1-\frac{2m(r)}{r}\right)^{-1/2}-1\right]>1$$
Esplicitando $m/r$ quest’ultima diventa:
$$-9\left(\frac{m}{r}\right)^2+(4-24\pi r^2 p)\left(\frac{m}{r}\right) + 8\pi r^2 p -16\pi r^4 p^2 >0$$
La soluzione è facilmente trovata:
$$\boxed{\frac{m(r)}{r} < \frac{2}{9} \left[1-6\pi r^2 p(r) + \sqrt{1+6\pi r^2 p(r)}\right]}$$
Poiché $p(R)=0$ la massa della stella soddisfa la cosiddetta disuguaglianza di Buchdal, dove abbiamo recuperato i fattori di $c$ e $G$:
$$M < \frac{4 c^2}{9 G} R$$
Per cui una stella fredda non può eccedere una certa massa dato il raggio. Possiamo però anche ottenere un limite assoluto, cioè un limite che non dipende da $R$. Per ottenerlo dobbiamo conoscere l’equazione di stato $p = p (\rho)$, che può essere determinata sperimentalmente sulla Terra. Purtroppo non siamo ancora in grado di esaminare fluidi con una densità maggiore della densità nucleare $\rho_N = 5 \cdot 10^{17} \mathrm{kg/m^3}$. Quindi possiamo separare la stella in un nucleo, cioè la zona centrale dove $\rho > \rho_N$ e in un inviluppo, cioè la zona esterna dove $\rho < \rho_N$ (ricordiamo che $\rho$ descresce con $r$). Se $m_N$ è la massa del nucleo e $r_N$ il suo raggio, essi soddisfano:
$$\frac{m_N}{r_N} < \frac{2}{9} \left[1-6\pi r_N^2 p(r_N) + \sqrt{1+6\pi r_N^2 p(r_N)}\right]<\frac{4}{9}$$
Inoltre, poiché $\rho$ decresce con $r$, $m_N \geq \frac{4}{3}\pi r_N^3 \rho_N$, per cui mettendo insieme:
$$m_N < \frac{4c^3}{\sqrt{243 G^3 \pi \rho_N}} \approx 5 M_{\odot}$$
circa $5$ masse solari. Questo limite vale solo per il nucleo della stella e non per la stella stessa: tuttavia, come vedremo in un prossimo articolo, supponendo un’equazione di stato per l’inviluppo saremo in grado di ottenere numericamente un limite alla massa totale dell’intera stella.