Abbiamo visto in un articolo precedente che un sistema gravitazionale di tre corpi, uno dei quali è piccolo rispetto agli altri due, ammette cinque punti stazionari detti punti di Lagrange. Tra questi, tre si trovano lungo la retta dei due corpi più grandi: sono i punti collineari $L1$, $L2$ ed $L3$. Gli altri due, $L4$ ed $L5$, formano un triangolo equilatero con i due corpi maggiori. Mentre per la posizione di $L4$ ed $L5$ abbiamo una soluzione analitica, la posizione dei tre collineari è data da un’equazione di quinto grado che non ha soluzione analitica. Sviluppiamo qui un’approssimazione per la loro posizione; la procedura non è banale come si possa pensare.
Come avevamo visto, i punti stazionari sono dati dalla soluzione di:
$$\begin{cases}
\pdv{\Omega}{x}=0\\
\pdv{\Omega}{y}=0
\end{cases}$$
dove
$$\Omega(x,y)=-\frac{(1-\mu)}{\sqrt{(x-\mu)^2+y^2}}-\frac{\mu}{\sqrt{(x+1-\mu)^2+y^2}}-\frac{1}{2}(x^2+y^2) $$
Calcolando le derivate le equazioni da risolvere diventano:
$$\begin{cases}
\frac{(1-\mu)(x-\mu)}{\bqty{(x-\mu)^2+y^2}^{3/2}}+\frac{\mu (x+1-\mu)}{\bqty{(x+1-\mu)^2+y^2}^{3/2}}-x=0\\
\frac{(1-\mu)y}{\bqty{(x-\mu)^2+y^2}^{3/2}}+\frac{\mu y}{\bqty{(x+1-\mu)^2+y^2}^{3/2}}-y=0
\end{cases}$$
La seconda equazione è di facile risoluzione: $y=0$ è una soluzione, che dà i tre punti collineari. Se invece $y\neq 0$ otteniamo $L4$ ed $L5$, che ora non ci interessano. Sostituiamo quindi $y=0$ e occupiamoci della prima equazione:
$$\frac{(1-\mu)(x-\mu)}{\abs{x-\mu}^3}+\frac{\mu (x+1-\mu)}{\abs{x+1-\mu}^3}-x=0$$
I valori assoluti derivano dal prendere la radice del quadrato. Ricordiamo che $0<\mu<1$ e per la simmetria del problema basta considerare il caso $0<\mu<1/2$. Per rimuovere i valori assoluti introduciamo due numeri, $s,t=\pm 1$ che ci danno il segno dei due valori assoluti:
$$\begin{cases}
x <\mu-1 & \implies s=-1 , t=-1\\
\mu-1 < x < \mu & \implies s=-1,t=+1\\
x > \mu & \implies s=+1, t= +1
\end{cases}$$
Le tre opzioni corrispondono ai tre punti collineari. Pertanto l’equazione diventa:
$$s\frac{(1-\mu)}{\pqty{x-\mu}^2}+t\frac{\mu}{\pqty{x+1-\mu}^2}-x=0$$
Facendo il minimo comune multiplo otteniamo:
$$\begin{align*}x^5&+\\+2x^4&(1-2\mu)+\\+x^3&\bqty{6\mu^2-6\mu+1}+\\+x^2&\bqty{2(1-2\mu)(\mu^2-\mu)-t\mu-s(1-\mu)}+\\+x&\bqty{(1-\mu)^2\pqty{\mu^2-2s}+2t\mu^2}+\\&-t\mu^3-s(1-\mu)^3=0\end{align*}$$
Ovvero un’equazione di quinto grado, per cui non abbiamo alcuna formula generale di risoluzione. Per questo cerchiamo una soluzione approssimata nel parametro $\mu$. Ci limitiamo cioè ai sistemi in cui $\mu$ è piccolo, ovvero quando la massa di uno dei corpi maggiori è molto minore dell’altra: questa condizione è verificata in molti casi di utilità pratica, come ad esempio nei sistemi Terra-Sole, Terra-Luna e Sole-Giove. Come prima cosa mettiamo $\mu=0$ nell’equazione sopra e vediamo cosa otteniamo:
$$x^5+2x^4+x^3-sx^2-2sx-s=0$$
Nel caso $s=+1$ vediamo subito che il polinomio può essere scomposto come:
$$(x-1)(x+1)^2(x^2+x+1)=0$$
le cui soluzioni reali sono $x=\pm 1$. Tuttavia il caso $s=+1$ corrisponde a $x>\mu$ (e quindi $t=+1$) per cui $x$ non può valere $-1$ e l’unica soluzione accettabile è $x=+1$.
Invece nel caso $s=-1$ la scomposizione è:
$$(x+1)^3(x^2-x+1)=0$$
la cui unica soluzione reale è $x=-1$.
Ora ritorniamo all’equazione con $\mu \neq 0$ e consideriamo prima di tutto $s=+1$. Possiamo cercare una soluzione sviluppando $x$ in una serie in potenze di $\mu$:
$$x = 1+x_1 \mu +\order{\mu^2}$$
Sostituendo nell’equazione otteniamo:
$$(12 x_1 -5)\mu + \order{\mu^2}=0$$
Per cui in prima approssimazione:
$$x = 1+\frac{5}{12} \mu +\order{\mu^2}$$
Includendo potenze maggiori di $\mu$ possiamo ottenere risultati successivamente più precisi. (Nota: alcuni danno la posizione dei punti di Lagrange rispetto all’oggetto più vicino, che in questo caso è in posizione $\mu$, per cui alcuni danno il risultato come $x-\mu = 1-7\mu/12+\cdots$). Al quart’ordine:
$$x = 1+\frac{5}{12}\mu -\frac{1127}{20736}\mu^3 -\frac{7889}{248832}{\mu^4} +\order{\mu^5}$$
Consideriamo adesso l’altro caso, cioè $s=-1$. Potremmo cercare come sopra di sviluppare la soluzione in potenze di $\mu$, ovvero $x = -1 +\mu x_1 +\order{\mu^2}$. Sostituendo otteniamo però una condizione contraddittoria: pertanto non esiste nessuno sviluppo del genere. Il motivo è che la radice $-1$ è una radice tripla: ovvero vicino a $-1$ il polinomio si comporta come una funzione di terzo grado, per cui se $x$ varia di $\mu$, allora il polinomio varia di $\mu^3$. Ciò suggerisce piuttosto di utilizzare $\mu^{1/3}$ come parametro di espansione. Dobbiamo andare oltre $\order{\mu}$: altrimenti tutti i termini che contengono $\mu$ nell’equazione sarebbero assorbiti in $\order{\mu}$ e l’equazione sarebbe identica a quella con $\mu=0$; avrebbe quindi come soluzione esatta $x=-1$ e non otterremmo niente di utile. Per cui:
$$x = -1 + x_1 \mu^{1/3} + x_2 \mu^{2/3} + x_3 \mu +\order{\mu^{4/3}}$$
Sostituendo nell’equazione sopra otteniamo:
$$(3x_1^3-t)\mu+\order{\mu^{4/3}}=0$$
Pertanto
$$x =-1 \pm \pqty{\frac{\mu}{3}}^{1/3}+\order{\mu^{2/3}}$$
che ci dà gli altri due punti di Lagrange. Nel caso in cui volessimo la posizione rispetto al corpo più vicino, che in questo caso si trova in $\mu-1$, otteniamo $x = \pm \pqty{\frac{\mu}{3}}^{1/3}$. Espandendo ad ordini più elevati otteniamo le successive approssimazioni:
$$x =-1 \pm \frac{1}{3^{1/3}} \mu^{1/3} -\frac{1}{3^{5/3}} \mu^{2/3} +\pqty{1\mp\frac{1}{27}} \mu+\order{\mu^{4/3}}$$
In molti casi (ad esempio per i sistemi Terra-Sole, Terra-Luna e Sole-Giove) $\mu \approx 10^{-2}$ e pertanto anche solo il primo termine è un’approssimazione sufficiente.