Il problema dei tre corpi è la soluzione delle equazioni di Newton per tre corpi sotto interazione gravitazionale reciproca. La sua versione ristretta consiste nel supporre due condizioni semplificatrici:
- La massa del terzo corpo è notevolmente inferiore a quella dei primi due, cosicché i due corpi massicci non sono influenzati dal terzo e si muovono secondo la soluzione al problema dei due corpi.
- I due corpi più massicci si muovono di moto circolare.
Anche in tal caso non siamo in grado di produrre una soluzione esplicita. Tuttavia l’analisi numerica è abbastanza semplice, e si ottengono risultati interessanti.
Le equazioni del moto senza semplificazioni sono:
$$\begin{cases}
\ddot{\mathbf{r}}_1 = -\frac{GM_2}{|\mathbf r_1-\mathbf r_2|^3}(\mathbf r_1-\mathbf r_2)-\frac{GM_3}{|\mathbf r_1-\mathbf r_3|^3}(\mathbf r_1-\mathbf r_3)\\
\ddot{\mathbf{r}}_2 = -\frac{GM_1}{|\mathbf r_2-\mathbf r_1|^3}(\mathbf r_2-\mathbf r_1)-\frac{GM_3}{|\mathbf r_2-\mathbf r_3|^3}(\mathbf r_2-\mathbf r_3)\\
\ddot{\mathbf{r}}_3 = -\frac{GM_1}{|\mathbf r_3-\mathbf r_1|^3}(\mathbf r_3-\mathbf r_1)-\frac{GM_2}{|\mathbf r_3-\mathbf r_2|^3}(\mathbf r_3-\mathbf r_2)\\
\end{cases}$$
Supponendo che $M_3 = m \ll M_1, M_2$ le equazioni si semplificano e diventano:
$$\begin{cases}
\ddot{\mathbf{r}}_1 = -\frac{GM_2}{|\mathbf r_1-\mathbf r_2|^3}(\mathbf r_1-\mathbf r_2)\\
\ddot{\mathbf{r}}_2 = -\frac{GM_1}{|\mathbf r_2-\mathbf r_1|^3}(\mathbf r_2-\mathbf r_1)\\
\ddot{\mathbf{r}}_3 = -\frac{GM_1}{|\mathbf r_3-\mathbf r_1|^3}(\mathbf r_3-\mathbf r_1)-\frac{GM_2}{|\mathbf r_3-\mathbf r_2|^3}(\mathbf r_3-\mathbf r_2)\\
\end{cases}$$
Le prime due equazioni sono disaccoppiate dalla terza, che pertanto vive nello sfondo dato dalla soluzione delle prime due. Il centro di massa del sistema è
$$\mathbf r_ {cm} \approx \frac{M_1 \mathbf r_1+M_2 \mathbf r_2}{M_1+M_2}$$
e soddisfa $\ddot{\mathbf{r}}_{cm}=0$, per cui si muove di moto lineare uniforme e possiamo supporre impunemente $\mathbf r_ {cm} = 0$.
Per ipotesi i due corpi massicci si muovono di moto circolare (e quindi uniforme). Sia $R$ la distanza tra i due corpi e $\omega$ la loro velocità angolare. Allora dalla soluzione del problema dei due corpi abbiamo:
$$\omega^2 = \frac{G(M_1+M_2)}{R^3}$$
A questo punto ci spostiamo nel sistema di riferimento rotante dei due corpi massicci. In questo caso il vettore della velocità angolare è $\boldsymbol{\omega} = \omega \hat{\mathbf{z}}$ costante. Utilizzando la formula ricavata in precedenza, l’equazione del terzo corpo diventa:
$$\ddot{\mathbf{r}} + 2 \boldsymbol \omega \times \dot{\mathbf{r}}+\boldsymbol \omega \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf r)= -\frac{GM_1}{|\mathbf r-\mathbf r_1|^3}(\mathbf r-\mathbf r_1)-\frac{GM_2}{|\mathbf r-\mathbf r_2|^3}(\mathbf r-\mathbf r_2)$$
dove abbiamo posto $\mathbf r_3 = \mathbf r$. In questo sistema di riferimento, $\mathbf r_1$ e $\mathbf r_2$ sono costanti, e possiamo prenderli sull’asse $x$:
$$\mathbf r_1= \left(\frac{M_2}{M_1+M_2}R, 0, 0\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf r_2= \left(-\frac{M_2}{M_1+M_2}R, 0, 0\right)$$
Supponendo che il moto avvenga interamente sul piano $x-y$, possiamo esplicitare i due componenti di $\mathbf{r}=(x,y)$ in coordinate cartesiane e otteniamo:
$$\begin{cases}
\ddot x -2\omega \dot y -\omega^2 x = -\frac{GM_1}{[(x-R_1)^2+y^2]^{3/2}}(x-R_1)-\frac{GM_2}{[(x-R_2)^2+y^2]^{3/2}} (x-R_2)\\
\ddot y + 2\omega \dot x -\omega^2 y =-\frac{GM_1}{[(x-R_1)^2+y^2]^{3/2}}y-\frac{GM_2}{[(x-R_2)^2+y^2]^{3/2}}y
\end{cases}$$
La forma delle equazioni del moto può essere semplificata definendo un potenziale efficace:
$$\Omega(x,y)=-\frac{GM_1}{\sqrt{(x-R_1)^2+y^2}}-\frac{GM_2}{\sqrt{(x-R_2)^2+y^2}}-\frac{1}{2}\omega^2 (x^2+y^2) $$
In tal modo le equazioni del moto diventano:
$$\boxed{\begin{cases}
\ddot x -2\omega \dot y= -\pdv{\Omega}{x}\\
\ddot y + 2\omega \dot x =-\pdv{\Omega}{y}
\end{cases}}$$
In questa forma è anche facile dimostrare l’esistenza di una quantità conservata:
$$J = \frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\Omega$$
Nonostante la semplificazione, non è possibile trovare una soluzione esplicita per il sistema di equazioni differenziali trovato. Nel prossimo articolo vediamo cosa riusciamo a tirar fuori usando metodi numerici.