Il teorema di equipartizione dell’energia

Sappiamo tutti che l’energia di un gas ideale in tre dimensioni è $E=\frac{3}{2} NkT$. Abbiamo infatti $\frac{1}{2}kT$ unità di energia per ogni grado di libertà, e abbiamo tre gradi di libertà per ogni particella, corrispondenti alle tre dimensioni spaziali. Questa formula può essere generalizzata.

Il teorema di equipartizione dell’energia afferma che data un’Hamiltoniana della forma:

$$H = A p^a + B q^b$$

l’energia del sistema è data da

$$E = \pqty{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}NkT$$ Il risultato è particolarmente interessante perché è indipendente dalla forma specifica dell’Hamiltoniana e dipende soltanto dalla potenza delle variabili. L’unico caveat è il caso in cui uno dei due coefficienti ($A$ o $B$) sia nullo: in tal caso ovviamente il termine corrispondente non compare.

Per dimostrare l’affermazione possiamo fare direttamente i calcoli. La funzione di partizione per una particella è:

$$Z_1 \propto \int\,dp\int\,dq\, e^{-\beta H} =\int\,dp \,e^{-\beta A p^a} \int\,dq\,e^{-\beta B q^b}$$

Consideriamo il primo integrale e sostituiamo $x^a = \beta p^a$. Allora

$$\int\,dp \,e^{-\beta A p^a} = \frac{1}{\beta^{1/a}}\int\,dx \,e^{-A x^a} \propto \frac{1}{\beta^{1/a}}$$

Possiamo tranquillamente ignorare tutto ciò che non dipende da $\beta$, perché come vedremo fra poco si cancella nell’espressione dell’energia. Applicando lo stesso trattamento anche al secondo integrale otteniamo:

$$Z_1 \propto \beta^{-\pqty{1/a+1/b}}$$

dove appunto la costante di proporzionalità non dipende da $\beta$. Per cui la funzione di partizione per $N$ particelle è:

$$Z \propto Z_1^N \propto \beta^{-N\pqty{1/a+1/b}}$$

L’energia del sistema è data da:

$$E = -\pdv{\log{Z}}{\beta}$$

Per cui se $Z$ è il prodotto di un termine che dipende da $\beta$ e uno che non dipende da $\beta$, il logaritmo lo trasformerà nella somma di un termine che dipende da $\beta$ e di uno che non dipende da $\beta$, che sarà pertanto azzerato dalla derivata. Quindi tutti i termini che non dipendono da $\beta$ sono irrilevanti. Calcolando esplicitamente la derivata otteniamo il risultato richiesto:

$$E = \pqty{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}NkT$$

Per cui ad esempio in un gas ideale monodimensionale (niente $b$) la cui dipendenza energetica ha la forma $p^2$, l’energia è $(1/2)NkT$. Allo stesso modo un gas ultrarelativistico ($H\sim p$) avrà energia $NkT$.

Il teorema può essere facilmente generalizzato nel caso di più dimensioni: se infatti

$$H = \sum_i A_i p_i^{a_i}+ \sum B_i q_i^{b_i}$$

allora l’energia sarà data da

$$E = \pqty{\sum_i \frac{1}{a_i}+\sum \frac{1}{b_i}}NkT$$

e in particolare non dipende dai coefficienti delle coordinate.

Esiste una versione più rigorosa del teorema di equipartizione, ma questo è il contenuto intuitivo.