Nel presente articolo studieremo in relatività generale il comportamento di una stella fredda, che approssimeremo come un fluido. Deriveremo le equazioni soddisfatte dalla metrica di una stella sotto le seguenti condizioni:
- Lo spaziotempo è sfericamente simmetrico e statico
- La stella è fredda, cioè a $T\approx 0$, ovvero non compie più reazioni nucleari
Una stella fredda è un fluido relativistico, statico e sfericamente simmetrico. Il tensore energia-impulso di un fluido è
$$T_{ab} = (p+\rho) u_a u_b +p g_{ab}$$
dove $u^a$ è la quadrivelocità del fluido. Poiché il fluido è statico e sfericamente simmetrico, la metrica assume la forma generica:
$$ds^2 = -e^{2\Phi(r)} dt^2 +e^{2\Psi(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$
dove $\Phi$ e $\Psi$ sono due funzioni arbitrarie. Poiché il fluido è statico, il quadrivettore velocità ha solo il componente temporale. Quindi normalizzando $g_{ab}u^a u^b = -1$,
$$u^a = (e^{-\Phi}, 0, 0, 0)$$
A questo punto dobbiamo calcolare il tensore di Ricci. Gli unici componenti non nulli sono quelli diagonali. In particolare:
\begin{align*}
R_{00} &= e^{2(\Phi-\Psi)} \left[\Phi^{\prime\prime} + \Phi’^2 +\Phi’ \frac{2}{r} -\Psi’\Phi’\right]\\
R_{11} &= -\Phi^{\prime\prime} + -\Phi’^2 +\Psi’ \frac{2}{r} +\Psi’\Phi’\\
R_{22} &= e^{-2\Psi} \left[r\Psi’ – r \Phi’ -1\right]+1\\
R_{33} &= R_{22} \sin^2 \theta
\end{align*}
La traccia del tensore energia-impulso è $T = 3p-\rho$ quindi il membro destro dell’equazione di Einstein $R_{ab} = 8\pi \left(T_{ab} -\frac{1}{2}g_{ab} T\right)$ è
$$4\pi \begin{pmatrix} (3p+\rho) e^{2\Phi} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (\rho-p) e^{2\Psi} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\rho-p) r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (\rho-p) r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix}$$
Perciò utilizzando la forma di $R_{ab}$ che abbiamo derivato, otteniamo
$$\begin{cases}\Phi^{\prime\prime} + \Phi’^2 +\Phi’ \frac{2}{r} -\Psi’\Phi’ =4\pi (3p+\rho) e^{2\Psi}\\
-\Phi^{\prime\prime} -\Phi’^2 +\Psi’ \frac{2}{r} +\Psi’\Phi’ = 4\pi (\rho-p) e^{2\Psi}\\
r\Psi’ -r \Phi’ -1+e^{2\Psi} =4\pi (\rho-p) r^2 e^{2\Psi} \end{cases}$$
Sommando le prime due equazioni, moltiplicandole per $r^2$ e aggiungendo due volte la terza otteniamo:
$$2r\Psi’ -1+e^{2\Psi} =8\pi r^2 \rho e^{2\Psi}$$
Se definiamo $m(r) = \frac{r}{2}\pqty{1-e^{-2\Psi}}$, ovvero $e^{-2\Psi} = 1-\frac{2m(r)}{r}$ abbiamo:
$$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho$$
Il motivo per cui definiamo $e^{-2\Psi} = 1-\frac{2m(r)}{r}$ è che all’esterno della stella la metrica dev’essere la metrica di Schwarzschild, e per continuità la metrica avrà la stessa forma all’interno. Va notato che quest’argomentazione non vale per la componente temporale della metrica, poiché per definizione la massa è calcolata a partire da superfici tipo spazio (quindi con $dt =0$).
Ora sommiamo le prime due equazioni ed esplicitiamo $\Psi$ in termini di $m$. Otteniamo:
$$\frac{d\Phi}{dr} = \frac{m+4\pi r^3 p}{r(r-2m)}$$
Derivando nuovamente quest’ultima equazione e sostituendola nella prima, otteniamo l’ultima equazione:
$$\frac{dp}{dr} = -(p+\rho) \Phi’$$
A questo punto abbiamo tre equazioni in quattro incognite ($m, \Phi, \rho, \phi$), quindi ci serve una quarta equazione. In generale il fluido soddisferà un’equazione di stato del tipo $T = T(\rho, p)$. Per una stella fredda $T=0$ costante, per cui abbiamo in linea di principio un’equazione di stato $p = p(\rho)$.
Mettendo insieme otteniamo le cosiddette equazioni di Tolman-Oppenheimer-Volkoff:
\begin{align*}
\frac{dm}{dr} &= 4\pi r^2 \rho\\
\frac{d\Phi}{dr} &= \frac{m+4\pi r^3 p}{r(r-2m)}\\
\frac{dp}{dr} &= -(p+\rho) \Phi’\\
p &= p(\rho)
\end{align*}
Insieme a queste equazioni abbiamo anche delle condizioni al contorno. In particolare, se la stella ha raggio $R$, allora $p(R)=\rho(R)=0$, cioè alla superficie densità e pressione si azzerano. Inoltre possiamo porre $m(0)=0$. Ci servirebbe un’altra condizione al contorno per fissare una costante d’integrazione per $\Phi$, ma questa corrisponde a ridefinire la variabile $t$ per cui non importa.
Notiamo che per $r>R$, cioè fuori dalla stella, abbiamo $m(r)=M$ la massa della stella, e quindi integrando la seconda equazione, $e^{2\Phi} = e^{-2\Psi}$. Ovvero la metrica diventa la metrica di Schwarzschild.
In genere è difficile conoscere l’equazione di stato, ma possiamo ottenere dei risultati che valgono per qualunque scelta di $p=p(\rho)$, come vedremo ad esempio nel prossimo articolo.