Un sistema di riferimento $S’$ è in rotazione rispetto ad un sistema $S$. Sia $\mathbf r$ il vettore posizione in $S$ e $\mathbf r’$ il vettore posizione in $S’$. Allora i due saranno collegati da una rotazione $R\in \mathrm{SO}(3)$, in genere dipendente dal tempo:
$$\mathbf r = R(t) \mathbf r’$$
Ho fatto la scelta opposta a quella “ovvia”, dove la matrice di rotazione moltiplicherebbe $\mathbf r$, perché i calcoli sono più semplici. In realtà non cambia niente: se $R\in \mathrm{SO}(3)$ allora anche $R^{-1}\in \mathrm{SO}(3)$. In questo caso $\mathbf r’$ non ruota, quindi tutta la rotazione è contenuta in $R(t)$, per cui la rotazione è nel senso giusto; se avessimo fatto la scelta contraria $R(t)$ avrebbe dovuto “cancellare” la rotazione di $\mathbf r$ e quindi la velocità angolare implementata da $R$ avrebbe avuto senso opposto a quella del sistema. Ora, la legge di Newton in $S$ è:
$$\frac{d^2}{dt^2}\mathbf r = \mathbf F$$
Poiché $\mathbf F$ è un vettore, allora trasforma come il vettore posizione: $\mathbf F = R(t) \mathbf F’$. Pertanto sostituendo otteniamo la legge di Newton in $S’$:
$$R^T(t)\frac{d^2}{dt^2}(R(t) \mathbf r’) = \mathbf F’$$
dove abbiamo usato la proprietà delle matrici di rotazione, $R^T R = I$. Possiamo semplificare il membro sinistro. Calcolando le derivate otteniamo:
\begin{align*}
\frac{d}{dt}(R \mathbf r’)&= \dot R \mathbf r’ + R \frac{d\mathbf r’}{dt}\\
\frac{d^2}{dt^2}(R \mathbf r’)&= \ddot R \mathbf r’ + 2\dot R \frac{d\mathbf r’}{dt}+R \frac{d^2\mathbf r’}{dt^2}\\
\implies R^T \frac{d^2}{dt^2}(R \mathbf r’)&= R^T\ddot R \mathbf r’ + 2 R^T\dot R \frac{d\mathbf r’}{dt}+ \frac{d^2\mathbf r’}{dt^2}
\end{align*}
dove di nuovo abbiamo usato la proprietà $R^T R = I$. Restano da calcolare le due matrici $R^T \dot R$ e $R^T \ddot R$. Utilizziamo la formula di Rodrigues, che in indici afferma:
$$R_{ij}=\delta_{ij}\cos{\theta}+\epsilon_{ikj} n_k \sin{\theta} + n_i n_j (1-\cos{\theta})$$
dove $\theta = \theta(t)$ è l’angolo di rotazione e $n$ è il vettore unitario dell’asse di rotazione. Derivando otteniamo:
$$\dot R_{ij}=\dot \theta (-\delta_{ij}\sin{\theta}+\epsilon_{ikj} n_k \cos{\theta} + n_i n_j \sin{\theta})$$
Per semplificare i conti usiamo le abbreviazioni $c = \cos{\theta}$ e $s = \sin{\theta}$. Pertanto abbiamo:
\begin{align*}
(R^T \dot R)_{ij} &= R^T_{ik}\dot R_{kj}=R_{ki} \dot R_{kj} =\\
&= \pqty{\delta_{ki} c+\epsilon_{kpi} n_p s + n_k n_i (1-c)}\dot \theta \pqty{-s\delta_{kj}s+\epsilon_{kqj} n_q c + n_k n_j s}=\ldots =\\
&=\dot \theta \epsilon_{iqj} n_q = \epsilon_{iqj} \omega_q
\end{align*}
Il vettore $\boldsymbol \omega = \dot \theta \mathbf n$ è il vettore velocità angolare. Pertanto
$$R^T\dot R \frac{d\mathbf r’}{dt}= (R^T\dot R)_{ij} \frac{dr’_j}{dt}=\epsilon_{iqj} \omega_q\frac{dr’_j}{dt} = \boldsymbol \omega \times \frac{d\mathbf r’}{dt}$$
Possiamo trovare una simile espressione per l’ultimo prodotto rimasto:
\begin{align*}
R^T\ddot R &= \frac{d}{dt}(R^T \dot R)-\dot R^T \dot R=\frac{d}{dt}(R^T \dot R)-( R^T \dot R)^T (R^T \dot R)=\\
&=\frac{d}{dt}(R^T \dot R)-(R^T \dot R)^T (R^T \dot R)=\epsilon_{iqj} \dot \omega_q-\epsilon_{kqi} \omega_q \epsilon_{kpj} \omega_p
\end{align*}
Ovvero:
$$R^T\ddot R \,\mathbf r’ = \epsilon_{iqj} \dot \omega_q r’_j- \epsilon_{kqi} \omega_q \epsilon_{kpj} \omega_p r’_j = \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf r’ +\boldsymbol \omega \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf r’)$$
Sostituendo otteniamo la legge di Newton nel sistema $S’$:
$$\boxed{\frac{d^2\mathbf r’}{dt^2}+ \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf r’ +2 \boldsymbol \omega \times \frac{d\mathbf r’}{dt}+\boldsymbol \omega \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf r’) =\mathbf F’}$$
Il terzo termine è noto come forza di Coriolis, mentre il quarto è la forza centrifuga.