Possiamo classificare tutte le possibili algebre di Clifford in dimensione finita. A tale scopo mostreremo che sono isomorfe ad alcune algebre di matrici. Il teorema fondamentale per la classificazione è il teorema di Artin-Wedderburn, insieme al risultato seguente:
Proposizione. (Semplicità dell’algebra di Clifford) L’algebra di Clifford $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t})$ è semplice se $s-t \neq 1, 5 \,\,\mathrm{mod}\,\,8$. Altrimenti è la somma di due algebre semplici.
Senza dimostrazione. Poiché $s-t = 1, 5 \,\,\mathrm{mod}\,\,8$ implica $n$ dispari, tutte le algebre pari sono semplici.
Caso complesso
Vogliamo classificare tutte le algebre $\mathcal{G}(\mathbb{C}^{s,t})$. Poiché nel caso complesso possiamo usare $i$ come scalare, ogni metrica ha la stessa segnatura, che per semplicità possiamo prendere tutta positiva. Se infatti il vettore $v$ avesse quadrato negativo, allora $iv$ avrebbe quadrato positivo, quindi la segnatura non ha senso nel caso complesso. Pertanto $\mathcal{G}(\mathbb{C}^{s,t}) = \mathcal{G}(\mathbb{C}^n)$ dove $n=s+t$.
Abbiamo due possibilità. Se $n$ è pari, allora l’algebra è semplice. Inoltre sappiamo che gli unici elementi che commutano con tutti gli altri sono gli scalari, come abbiamo visto nel secondo articolo della serie. L’algebra ha quindi centro banale, ovvero è centrale. In tal caso il teorema di Artin-Wedderburn ci assicura che è isomorfa all’algebra delle matrici $2^{n/2} \times 2^{n/2}$ su $\mathbb{C}$.
Se $n$ è dispari il centro è dato da scalari e pseudoscalari. Usando $i$ possiamo sempre trovare uno pseudoscalare $I$ tale che $I^2=1$. Possiamo definire i proiettori $P_\pm = \frac{1}{2}(1\pm I)$. Questi proiettano l’algebra nei due autospazi positivo e negativo di $I$:
$$\mathcal{G}(\mathbb{C}^n) = \mathcal{G}_+ \oplus \mathcal{G}_-$$
Poiché $n$ è dispari, $I$ ha grado dispari, quindi $I^* = -I$ dove $*$ è l’involuzione di grado, che quindi scambia $\mathcal{G}_+$ e $\mathcal{G}_-$. Poiché l’involuzione di grado è un’automorfismo dell’algebra, i due sono isomorfi e quindi hanno entrambi dimensione pari. Pertanto ognuno dei due sottospazi è centrale semplice, e $\mathcal{G}(\mathbb{C}^n)$ è isomorfa alla somma di due algebre di matrici $2^{(n-1)/2} \times 2^{(n-1)/2}$ su $\mathbb{C}$.
Riassumendo:
\begin{align*}
\mathrm{n\,\,pari} &\implies \mathcal{G}(\mathbb{C}^n) \cong M(\mathbb{C}, 2^{n/2})\\
\mathrm{n\,\,dispari} &\implies \mathcal{G}(\mathbb{C}^n) \cong M(\mathbb{C}, 2^{(n-1)/2}) \oplus M(\mathbb{C}, 2^{(n-1)/2})
\end{align*}
Caso reale
Se $n=s+t$ è pari, allora l’algebra è semplice centrale e quindi per il teorema di Artin-Wedderburn è isomorfa ad un’algebra di matrici su $\mathbb{R}$ o su $\mathbb{H}$. È isomorfa ad un’algebra su $\mathbb{R}$ se $s-t= 0,2\,\,\mathrm{mod}\,\,8$, mentre è isomorfa ad un’algebra su $\mathbb{H}$ se $s-t= 4,6\,\,\mathrm{mod}\,\,8$.
Se $n$ è dispari, ma $s-t= 3, 7\,\,\mathrm{mod}\,\,8$ allora l’algebra è semplice ma non centrale. In tal caso è isomorfa ad un’algebra di matrici su $\mathbb{C}$.
Se $n$ è dispari e $s-t= 1,5\,\,\mathrm{mod}\,\,8$ allora l’algebra è la somma di due algebre semplici centrali pari. Pertanto il caso si riduce a quello pari: è la somma di due algebre su $\mathbb{R}$ se $s-t= 1\,\,\mathrm{mod}\,\,8$, mentre è la somma di due algebre su $\mathbb{H}$ se $s-t= 5\,\,\mathrm{mod}\,\,8$.
Riassumendo:
\begin{align*}
\mathrm{n\,\,pari}\,\,\,\,s-t= 0,2\,\,\mathrm{mod}\,\,8 &\implies \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t}) \cong M(\mathbb{R}, 2^{n/2})\\
\mathrm{n\,\,pari}\,\,\,\,s-t= 4,6\,\,\mathrm{mod}\,\,8 &\implies \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t}) \cong M(\mathbb{H}, 2^{n/2-1})\\
\mathrm{n\,\,dispari}\,\,\,\,s-t= 3,7\,\,\mathrm{mod}\,\,8 &\implies \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t}) \cong M(\mathbb{C}, 2^{(n-1)/2})\\
\mathrm{n\,\,dispari}\,\,\,\,s-t= 1\,\,\mathrm{mod}\,\,8 &\implies \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t}) \cong M(\mathbb{R}, 2^{(n-1)/2}) \oplus M(\mathbb{R}, 2^{(n-1)/2})\\
\mathrm{n\,\,dispari}\,\,\,\,s-t= 5\,\,\mathrm{mod}\,\,8 &\implies \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t}) \cong M(\mathbb{H}, 2^{(n-3)/2}) \oplus M(\mathbb{H}, 2^{(n-3)/2})
\end{align*}
E ciò completa la classificazione delle algebre di Clifford. Un modo alternativo per derivare la classificazione fa uso del lemma seguente:
Proposizione. (Isomorfismi delle algebre di Clifford) Valgono i seguenti isomorfismi:
$$\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s+2,0}) =\mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,s}) \otimes \mathcal{G}(\mathbb{R}^{2,0})\\
\mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,t+2}) = \mathcal{G}(\mathbb{R}^{t,0}) \otimes \mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,2})\\
\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s+1,t+1}) = \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t}) \otimes \mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,1})$$
Dimostrazione. Per il teorema di universalità, basta trovare degli omomorfismi:
$$\phi_1 : \mathbb{R}^{s+2,0} \to \mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,s}) \otimes \mathcal{G}(\mathbb{R}^{2,0})\\
\phi_2 : \mathbb{R}^{s+1,t+1} \to \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t}) \otimes \mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,1})$$
Nel primo caso, l’omomorfismo è definito nel modo seguente. Siano $\{e_i\}$, $\{f_i\}$, $\{g_i\}$ basi di $\mathbb{R}^{s+2,0}$, $\mathbb{R}^{0,s}$ e $\mathbb{R}^{1,1}$. Allora
$$\phi_1(e_i) = \begin{cases} 1 \otimes g_1 & i = n+1 \\1 \otimes g_2 & i = n+2\\f_i \otimes g_1 g_2 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}$$
Nel secondo caso, scegliendo le tre basi nel modo corrispondente,
$$\phi_2(e_i) = \begin{cases} 1 \otimes g_1 & i = s+1 \\1 \otimes g_2 & i = s+1+t+1\\ f_i \otimes g_1 g_2 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}$$
Il caso di mezzo è simile al primo. $\square$
La proposizione spiega anche la strana periodicità modulo otto e l’apparizione dei quaternioni.
Algebre di Clifford e matrici di Dirac
L’algebra spaziotemporale in dimensione $n$ è l’algebra $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,n-1})$. Poiché questa è un’algebra reale, mentre tradizionalmente in fisica usiamo campi complessi, l’algebra che ci interessa è la complessificazione dell’algebra spaziotemporale, ovvero:
$$\mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,n-1})_{\mathbb{C}} = \mathcal{G}(\mathbb{C}^{1,n-1})=\mathcal{G}(\mathbb{C}^n)$$
dove l’ultimo passaggio segue dalla classificazione delle algebre di Clifford che abbiamo visto nell’ultimo articolo. La complessificazione dell’algebra spaziotemporale è detta algebra di Dirac. Le matrici di Dirac sono una rappresentazione irriducibile dell’algebra di Dirac. Vale il seguente risultato:
Teorema. (rappresentazioni dell’algebra di Dirac) Sia $d$ la parte intera di $n/2$. Allora $\mathcal{G}(\mathbb{C}^n)$ ammette un’unica rappresentazione irriducibile, di dimensione $2^d$.
Per questo motivo in quattro dimensioni l’unica rappresentazione irriducibile dell’algebra di Dirac ha dimensione $4$. La dimostrazione non è esattamente facile, e trovate due possibili argomentazioni su questo post di Physics Stack Exchange. Se invece di occuparci di rappresentazioni dell’intera algebra ci interessassimo del gruppo $\mathrm{Spin}$, la rappresentazione di dimensione $2^d$ sarebbe riducibile. In termini più usuali di teoria dei campi, se includiamo trasformazioni di parità $P$, allora gli spinori di Dirac sono irriducibili; se escludiamo le trasformazioni di parità, allora gli spinori di Dirac sono riducibili, e sono dati dalla somma di due spinori di Weyl.