Nella serie di articoli sulle algebre di Clifford abbiamo omesso la maggior parte delle dimostrazioni, che invece vedremo in questo articolo.
Proposizione (proprietà dello pseudoscalare) Sia $n$ la dimensione dell’algebra. Lo pseudoscalare soddisfa le seguenti proprietà:
- Se $n$ è dispari, allora lo pseudoscalare commuta con tutti gli elementi.
- Se $n$ è pari, allora lo pseudoscalare commuta con gli elementi di grado pari e anticommuta con gli elementi di grado dispari.
- Il quadrato dello pseudoscalare è dato da $I^2 = (-1)^{n(n-1)/2}s$ dove $s$ è il segno del determinante della metrica.
Dimostrazione (1 e 2). Le dimostrazioni sono puramente combinatorie. Prendiamo una base ortonormale $\{e_i\}$ per lo spazio vettoriale sottostante l’algebra. Lo pseudoscalare è per definizione
$$I = e_1 e_2 \cdots e_n$$
È sufficiente considerare un elemento dell’algebra $x = e_1 e_2 \cdots e_k$ per $k$ qualsiasi. Se infatti $x$ non è in quella forma, basta riordinare gli elementi della base; bisognerebbe quindi riordinare gli elementi dello pseudoscalare perché vadano da $1$ a $n$, e poiché la base è ortonormale al massimo lo pseudoscalare prenderebbe un segno, che non cambia le proprietà di commutazione. Abbiamo pertanto:
$$I x = e_1 e_2 \cdots e_n e_1 e_2 \cdots e_k$$
Ognuno degli elementi di $x$ deve attraversare tutti gli elementi dello pseudoscalare, e ciò si ottiene con $n-1$ scambi. Ad ogni scambio otteniamo un $-1$, per cui in totale ne abbiamo $(n-1)k$, ovvero:
$$I x = (-1)^{k (n-1)} x I$$
Quindi se $n$ è dispari, $n-1$ è pari e quindi $(-1)^{k (n-1)}= 1^k = 1$. Se invece $n$ è pari, $n-1$ è dispari, quindi $(-1)^{k (n-1)}= (-1)^k$. Per cui lo pseudoscalare commuta con gli elementi di grado pari e anticommuta con quelli di grado dispari. $\square$
Dimostrazione (3). Seguiamo la stessa impostazione della dimostrazione dei primi due punti. Il rovesciamento dello pseudoscalare è per definizione:
$$I^\dagger = e_n \cdots e_2 e_1$$
Partendo da $I$, per ottenere $I^\dagger$ dobbiamo spostare $e_n$ al primo posto ($n-1$ scambi), poi $e_{n-1}$ al secondo posto ($n-2$ scambi), e così via fino a $e_2$ (1 scambio) e $e_1$ che si trova al proprio posto automaticamente. Per cui in totale abbiamo effettuato
$$(n-1)+(n-2)+\cdots+1 = \frac{n(n-1)}{2}$$
scambi. Poiché la base è ortonormale ad ogni scambio prendiamo un segno meno, per cui
$$I^\dagger = (-1)^{n(n-1)/2} I$$
A questo punto possiamo calcolare
$$I^\dagger I = e_n \cdots e_2 e_1 e_1 e_2 \cdots e_n = (e_1)^2 (e_2)^2 \cdots (e_n)^2$$
e poiché la base è ortonormale, $(e_i)^2 = \pm 1$ se l’indice $i$ corrisponde rispettivamente ad un segno positivo o negativo nella metrica. Per cui $I^\dagger I = s$ e la proprietà è dimostrata. $\square$
La proposizione successiva sarà utile per la classificazione delle algebre di Clifford, e la dimostrazione fa uso del teorema di universalità dell’articolo precedente.
Proposizione. (Isomorfismi dell’algebra pari) Sia $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t})$ l’algebra di Clifford su $\mathbb{R}^{s+t}$ con metrica di segnatura $(s,t)$. Sia inoltre $\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t})$ la sottoalgebra degli elementi di grado pari. Allora $\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t}) \cong \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t-1})\cong \mathcal{G}(\mathbb{R}^{t,s-1})$.
Dimostrazione. Per il primo isomorfismo, siano $\{e_i\}$ una base di $\mathbb{R}^{s,t}$ e $\{f_i\}$ una base di $\mathbb{R}^{s,t-1}$. Ordiniamo gli elementi delle due basi in modo tale che i primi $s$ abbiano quadrato $+1$ e i restanti abbiano quadrato $-1$.
Definiamo una mappa $g: \mathbb{R}^{s,t-1} \to \mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t})$ sulla base in modo che $g(f_i) =e_i e_{s+t}$ ed estendendo linearmente. Dato un elemento qualsiasi $v \in \mathbb{R}^{s,t-1}$ ed espandendolo sulla base, $v = v_i f_i$, abbiamo quindi:
\begin{align*}
g(v)^2 &= v_i v_j g(f_i) g(f_j) = v_i v_j e_i e_{s+t} e_j e_{s+t}=-v_i v_j e_i e_j e_{s+t}^2 = v_i v_j e_i e_j =\\
&=v_i v_j \frac{e_i e_j + e_j e_i}{2} = v_i v_j e_i \cdot e_j = v \cdot v = q(v)
\end{align*}
Pertanto possiamo applicare il teorema di universalità e dedurre che esiste ed è unico l’omomorfismo $G: \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t-1}) \to \mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t})$ che estende $g$. L’omomorfismo $G$ è suriettivo, e poiché $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t-1})$ e $\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t})$ hanno la stessa dimensione, $2^{s+t-1}$, $G$ è un isomorfismo.
Per dimostrare il secondo isomorfismo consideriamo una simile funzione $g: \mathbb{R}^{t,s-1} \to \mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t})$ che stavolta scambia gli elementi che quadrano a $-1$ con quelli che quadrano a $+1$ e viceversa. La dimostrazione procede allo stesso modo. $\square$
Proposizione. (Invarianza dell’algebra pari) L’algebra degli elementi pari è invariante rispetto allo scambio di segnatura. Ovvero nella stessa notazione della proposizione precedente, $$\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t}) \cong \mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{t,s})$$
Dimostrazione. Applicando due volte la proposizione immediatamente precedente,
$$\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t}) \cong \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t-1}) \cong \mathcal{G}(\mathbb{R}^{t,s-1}) \cong \mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{t,s})$$
e il risultato è raggiunto. $\square$
Per dimostrare la prossima e ultima proposizione ci serviamo dell’azione aggiunta modificata $\widetilde{\mathrm{Ag}}$ come definita nel quarto articolo della serie.
Proposizione. Esistono omomorfismi continui e suriettivi con nucleo $\{\pm 1\}$:
$$\mathrm{Pin}(s,t) \to \mathrm{O}(s,t)\\
\mathrm{Spin}(s,t) \to \mathrm{SO}(s,t)\\
\mathrm{Spin}^+(s,t) \to \mathrm{SO}^+(s,t)$$
dove $\mathrm{SO}^+$ è il componente di $\mathrm{SO}$ connesso all’identità.
Dimostrazione. L’omomorfismo che cerchiamo è $\widetilde{\mathrm{Ag}}$. Ricordiamo la definizione del gruppo $\mathrm{Pin}$:
$$\mathrm{Pin} = \{a \in \widetilde \Gamma \,\,\, \mathrm{t.c.} \,\,\, a^\dagger a = 1 \,\,\mathrm{o}\,\, -1\}$$
dove
$$\widetilde \Gamma = \{x \in \mathcal{G}^\times \,\,\,\mathrm{t.c.}\,\,\, \widetilde{\mathrm{Ag}}_x(v) \in \mathbb{R}^{s,t} \,\,\,\forall v \in \mathbb{R}^{s,t}\}$$
Per prima cosa quindi dimostriamo che $\widetilde{\mathrm{Ag}}$ dà un isomorfismo $\widetilde \Gamma \to \mathrm{O}$. Definiamo la norma di un elemento dell’algebra:
$$N(x) = x^c x = (x^*)^\dagger x$$
Dimostriamo che $\widetilde{\mathrm{Ag}}$ ristretto al gruppo di Lipschitz preserva la norma dei vettori:
\begin{align*}
N(\widetilde{\mathrm{Ag}}_x(v))&= (x^* v x^{-1})^c x^* v x^{-1} = (x^{-1})^c v^c x^\dagger x^* v x^{-1} =\\
&= (x^{-1})^c v^c N(x)^* v x^{-1} =N(x)^* (x^{-1})^c v^c v x^{-1} = N(v) N(x)^* N(x^{-1}) = N(v)
\end{align*}
Poiché per un vettore $N(v) = -v^2$ e per $x \in \widetilde \Gamma$, $\widetilde{\mathrm{Ag}}_x(v)$ è un vettore, allora $\widetilde{\mathrm{Ag}}_x$ preserva la norma dei vettori e possiamo concludere che è una trasformazione ortogonale.
Ora se $\widetilde{\mathrm{Ag}}_x = 1$, la trasformazione identità, allora $x^* v = v x$, per cui $x$ soddisfa una relazione di commutazione modificata con tutti i vettori ed è pertanto uno scalare. Quindi abbiamo un’omomorfismo $\widetilde \Gamma \to \mathrm{O}$ col nucleo dato dagli scalari.
$\mathrm{Pin}$ è definito come gli elementi normalizzati del gruppo di Lipschitz. Pertanto $\mathrm{Pin} \cong \widetilde \Gamma / \mathrm{ker}(\widetilde{\mathrm{Ag}})$, e per il teorema dell’isomorfismo abbiamo il rivestimento doppio $\mathrm{Pin} \to \mathrm{O}$.
Il rivestimento $\mathrm{Spin} \to \mathrm{SO}$ segue perché $\mathrm{Spin}$ contiene solo elementi di grado pari, che per il teorema di Cartan-Dieudonné rappresentano quindi rotazioni. L’ultimo omomorfismo segue per continuità. $\square$
Nel prossimo articolo vedremo la classificazione delle algebre di Clifford.