Negli articoli precedenti abbiamo esaminato diversi aspetti delle algebre di Clifford, senza però esaminarne i dettagli in modo rigoroso. In questo articolo definiremo con esattezza cos’è un’algebra di Clifford e in base ad essa dimostreremo alcune delle asserzioni fatte in precedenza.
Definizione. Uno spazio quadratico $(V, q)$ è uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ insieme ad una forma quadratica $q$, ovvero una funzione $q: V \to K$ tale che:
- $q(\alpha v) = \alpha^2 q(v)$ per ogni $\alpha \in K$ e per ogni $v \in V$
- la mappa $\beta(u,v) = \frac{1}{2}\bqty{q(u+v) -q(u) -q(v)}$ è bilineare
Queste due proprietà catturano l’idea di una funzione della forma $q(v) = v_i Q_{ij} v_j$, ed è così che dobbiamo pensarla. Una forma quadratica $q$ induce un prodotto interno dato dalla formula per $\beta$. Infatti se $q(v) = v_i Q_{ij} v_j$ con $Q$ simmetrica, allora $\beta(u,v)=u_i Q_{ij} v_j$.
Definizione. Dato uno spazio vettoriale $V$ definiamo:
- Lo spazio vettoriale $\mathcal{T}^k (V) = \underbrace{V \otimes V \otimes \cdots \otimes V }_{\mathrm{k\,volte}}$ dei tensori di rango $k$
- L’algebra $\mathcal{T} (V) = \bigoplus_{k=0}^\infty \mathcal{T}^k (V)$ dei tensori su $V$. Un’algebra è uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto, in questo caso il prodotto tensoriale.
Definizione. Dato uno spazio quadratico $(V,q)$ si consideri l’algebra dei tensori $\mathcal{T}(V)$ e l’ideale $\mathcal{I}$ generato dagli elementi della forma
$$v \otimes v -q(v) 1$$
L’algebra di Clifford $\mathcal{G}(V,q)$ è il quoziente dell’algebra tensoriale per $\mathcal{I}$:
$$\mathcal{G}(V,q) = \mathcal{T}(V) / \mathcal{I}$$
Il prodotto nell’algebra di Clifford è quello ereditato dall’algebra tensoriale. In particolare la definizione dell’ideale cattura l’idea che il prodotto geometrico di un elemento con se stesso è il suo modulo (ovvero il valore della forma quadratica). Infatti se $x + \mathcal{I} \in \mathcal{G}(V,q)$ con $x \in V \subset \mathcal{T}(V)$ allora:
$$(x+\mathcal{I}) \otimes (x+\mathcal{I}) = x\otimes x+\mathcal{I}= \left(x \otimes x -q(x) 1\right) + q(x) 1 + \mathcal{I} = q(x) + \mathcal{I}$$
Inoltre la definizione di prodotto coincide con il prodotto geometrico definito nel primo articolo. Infatti se $x + \mathcal{I}, y + \mathcal{I} \in \mathcal{G}(V,q)$ dove $x, y \in V$ allora:
\begin{align*}
\left(x + \mathcal{I}\right)\otimes \left(y + \mathcal{I}\right) &= x \otimes y+ \mathcal{I} = \frac{x \otimes y+y \otimes x}{2} + \frac{x \otimes y -y \otimes x}{2} +\mathcal{I} =\\
&=\frac{x \otimes y+y \otimes x}{2} + x \wedge y + \mathcal{I}=\\
&=\frac{(x+y) \otimes (x+y) -x \otimes x -y \otimes y}{2} + x \wedge y + \mathcal{I}=\\
&=\frac{q(x+y) -q(x)-q(y)}{2} + x \wedge y + \mathcal{I}=\beta(x,y) + x \wedge y + \mathcal{I}
\end{align*}
Quindi il prodotto tra due vettori dell’algebra è dato dalla somma tra prodotto interno e prodotto esterno. Utilizzando la definizione possiamo dimostrare il teorema seguente:
Teorema. (Universalità dell’algebra di Clifford) Sia $(V,q)$ uno spazio quadratico e $\mathcal{A}$ un’algebra associativa. Se $f: V \to \mathcal{A}$ è lineare e soddisfa
$$f(v)^2 = q(v) 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall v \in V$$
allora esiste ed è unico l’omomorfismo di algebre $F: \mathcal{G}(V,q) \to \mathcal{A}$ compatibile con $f$, cioè tale che $F([v]) = f(v)\,\,\,\,\,\forall v \in V$.
Dimostrazione. Dato l’omomorfismo $f$, che possiamo considerare definito su una base di $V$, esso ammette un’unica estensione all’algebra tensoriale su $V$ definita come l’omomorfismo di algebre $\phi: \mathcal{T}(V) \to \mathcal{A}$ tale che
$$\phi(v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_k) = f(v_1) f(v_2) \cdots f(v_k)$$
ed estendendo linearmente. A questo punto notiamo che:
$$\phi(v \otimes v -q(v)1) = f(v)^2 -q(v)1=0$$
per cui $\mathrm{ker}(\phi) = \mathcal{I}$ e quindi abbiamo un’unica mappa:
$$F: \mathcal{T}(V)/\mathcal{I} = \mathcal{G}(V,q) \to \mathcal{A}$$
e il teorema è dimostrato. $\square$
Nel prossimo articolo vedremo la dimostrazione di alcune delle affermazioni fatte in precedenza.