È noto che il prodotto vettoriale esiste solo in 3 dimensioni. Utilizzando la notazione di Einstein, possiamo scrivere il prodotto vettoriale tra due vettori come:
$$(\mathbf v \times \mathbf w)_i = \epsilon_{ijk}v_j w_k$$
dove abbiamo appunto omesso la somma sugli indici $j$ e $k$. In termini espliciti, i componenti del vettore sono:
$$(\mathbf v \times \mathbf w)_i = (v_2 w_3 -v_3 w_2 , v_3 w_1 -v_1 w_3 , v_1 w_2 -v_2 w_1)$$
È possibile generalizzarlo ad un numero diverso di dimensioni? Per l’esposizione seguiamo l’articolo di W. Massey, Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces.
Proprietà del prodotto vettoriale
Cosa definisce un prodotto vettoriale? Se vogliamo generalizzarlo, dobbiamo trovare alcune proprietà che ne costituiscano una definizione. Adottiamo la seguente:
Definizione 1 (prodotto vettoriale). Un prodotto vettoriale su $\mathbb{R}^n$ è un’operazione che a due vettori $\mathbf v, \mathbf w$ in $\mathbb{R}^n$ assegna un vettore $\mathbf v \times \mathbf w \in \mathbb{R}^n$ tale che:
- $\mathbf v \times \mathbf w$ è bilineare in $\mathbf v$, $\mathbf w$
- $\mathbf v \times \mathbf w$ è perpendicolare a $\mathbf v$, $\mathbf w$
- $|\mathbf v \times \mathbf w|^2 = |v|^2 |w|^2-(\mathbf v\cdot \mathbf w)^2$
La 1 e la 2 sono chiaramente proprietà che vogliamo nel prodotto vettoriale, mentre la 3 significa semplicemente che il modulo di $\mathbf v \times \mathbf w$ è dato dall’area del parallelogramma definito da $\mathbf v$ e $\mathbf w$.
Se adottiamo questa definizione di prodotto vettoriale, allora esiste soltanto in dimensione 3 e 7. Il che è un po’ una sorpresa: dimensione 7? E che roba è?
Tecnicamente parlando in dimensione 1 e 2 il prodotto esiste ma è banalmente sempre 0. Questo perché in dimensione 1 tutti i vettori sono paralleli, per cui $\mathbf v\cdot \mathbf w = |\mathbf v| |\mathbf w|$ e quindi dalla proprietà 3 $\mathbf v \times \mathbf w=0$. In dimensione 2, invece, se due vettori non sono paralleli, allora l’unico vettore a loro perpendicolare è il vettore 0. Per $n>2$ abbiamo invece il seguente teorema:
Teorema. Data la definizione 1 di prodotto vettoriale, allora esso esiste se e solo se $n=3$ o $7$.
Dimostrazione: La dimostrazione fa uso di un teorema detto Teorema di Hurwitz, in base al quale se è definita su $\mathbb{R}^n$ una moltiplicazione bilineare con unità che rende moltiplicativa la norma di due vettori, allora $n=1,2,4,8$ (corrispondenti rispettivamente alla moltiplicazione tra reali, complessi, quaternioni, ottonioni). Il prodotto vettoriale non soddisfa le ipotesi del teorema di Hurwitz, perché non ammette unità, quindi dobbiamo ingegnarci un poco: ovvero in base al prodotto vettoriale dobbiamo definire un prodotto vero e proprio a cui applicare il teorema di Hurwitz.
Supponiamo che esista un prodotto vettoriale su $\mathbb{R}^n$. Allora in $\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ possiamo definire un prodotto tra coppie del tipo $(a,\mathbf v)$ dove $a \in \mathbb{R}$ e $\mathbf v \in \mathbb{R}^n$ nel modo seguente:
$$(a,\mathbf v)(b,\mathbf w)=(ab-\mathbf v\cdot \mathbf w, a \mathbf w+b \mathbf v+\mathbf v\times \mathbf w)$$
L’unità per questo prodotto è data da $(1,0)$. Potete infatti controllare che $(a,\mathbf v)(1,0)=(a,\mathbf v)$. La norma di un elemento in $\mathbb{R}^{n+1}$ è quella euclidea: $|(a,\mathbf v)|^2=a^2 + |\mathbf v|^2$. Pertanto possiamo fare brutalmente i calcoli, ottenendo che
$$|(a,\mathbf v)(b,\mathbf w)|^2=|(a,\mathbf v)|^2 |(b,\mathbf w)|^2$$
Quindi abbiamo definito su $\mathbb{R}^{n+1}$ una moltiplicazione bilineare che ammette un’unità e rende moltiplicativa la norma dei vettori. Pertanto per il Teorema di Hurwitz $n+1 = 1,2,4,8$ ovvero $n=0,1,3,7$, cioè il prodotto vettoriale esiste solo in dimensione 3 o 7. $\square$
Lo stesso risultato si ottiene (con una dimostrazione più complicata) supponendo la seguente definizione più debole di prodotto vettoriale:
Definizione 2 (prodotto vettoriale). Un prodotto vettoriale su $\mathbb{R}^n$ è un’operazione che a due vettori $\mathbf v, \mathbf w$ in $\mathbb{R}^n$ assegna un vettore $\mathbf v \times \mathbf w \in \mathbb{R}^n$ tale che:
- $\mathbf v \times \mathbf w$ è continua in $\mathbf v$, $\mathbf w$
- $\mathbf v \times \mathbf w$ è perpendicolare a $\mathbf v$, $\mathbf w$
- Se $\mathbf v$ e $\mathbf w$ sono linearmente indipendenti, allora $\mathbf v \times \mathbf w \neq 0$
La 2 è la stessa, mentre la 1 e la 3 sono molto indebolite: ciò rafforza la nostra fiducia nella definizione di prodotto vettoriale che abbiamo dato prima e nel teorema di esistenza.
Il prodotto vettoriale in 7 dimensioni
Abbiamo detto che il prodotto vettoriale esiste anche in 7 dimensioni. Quello in 3D lo conosciamo bene. Quali sono le caratteristiche di quello in 7 dimensioni?
Potete trovare una tabella moltiplicativa nella pagina Wiki in inglese. Uno dei problemi del prodotto in sette dimensioni è che ci sono molti modi per definirlo, mentre invece in tre dimensioni il prodotto è unico a meno di un segno. Il motivo per cui ciò avviene è schematicamente il seguente:
- due vettori non paralleli definiscono un piano bidimensionale (in qualsiasi numero di dimensioni).
- In 3 dimensioni, poiché $2+1 = 3$, per identificare un piano basta un vettore, la normale al piano. Pertanto il vettore perpendicolare al piano è unico a meno di un segno (corrispondente alla scelta del verso).
- In 7 dimensioni, invece, dati due vettori e quindi un piano ci sono 5 direzioni indipendenti ad esso perpendicolari. In questo modo abbiamo 480 possibili tabelle del prodotto vettoriale per i vettori della base, e quindi altrettanti prodotti vettoriali.
Il prodotto vettoriale in 7 dimensioni è affetto da problema ancora più grave. Data una rotazione $R$ in 7 dimensioni, cioè $R \in SO(7)$, in generale:
$$R\mathbf v \times R \mathbf w \neq R (\mathbf v \times \mathbf w)$$
Ovvero il prodotto vettoriale non è preservato da rotazioni arbitrarie dello spazio, mentre invece lo è sempre in 3 dimensioni. Questo è un problema grave per i fisici, perché i risultati di un esperimento non dovrebbero dipendere dalla particolare orientazione spaziale dell’apparato. In altri termini, il prodotto vettoriale in sette dimensioni non è un tensore cartesiano, e pertanto trova limitata applicazione.
Un altro modo di definire il prodotto vettoriale
Per concludere, esponiamo un ultimo modo per generalizzare il prodotto vettoriale. Ripartiamo dalla definizione tensoriale in 3 dimensioni:
$$(\mathbf v \times \mathbf w)_i = \epsilon_{ijk}v_j w_k$$
In 4 dimensioni, ad esempio, possiamo rimpiazzare il tensore di Levi Civita 3D $\epsilon_{ijk}$ con la sua versione 4D $\epsilon_{ijkl}$. A questo punto, poiché abbiamo aggiunto un indice, dobbiamo aggiungere un vettore. Per cui in 4 dimensioni, possiamo definire un prodotto vettoriale quadridimensionale tra tre vettori 4D nel seguente modo:
$$(\mathbf u \times \mathbf v \times \mathbf w)_i = \epsilon_{ijkl}u_j v_k w_l$$
Per generalizzarlo a $n$ dimensioni basta aggiungere indici al tensore $\epsilon$ e aggiungere il corrispondente numero di vettori.
Pertanto secondo questa nuova definizione un prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^n$ è un’operazione che presi $n-1$ vettori ne restituisce uno, e tale operazione soddisfa le seguenti proprietà analoghe a quelle della definizione 1:
- È multilineare
- È perpendicolare ad ognuno dei vettori che formano il prodotto
- Il suo modulo è il volume del parallelogramma $n-1$ dimensionale determinato dai vettori che formano il prodotto
Questa definizione è più utile e trova applicazione nella teoria delle forme differenziali, che abbiamo trattato in altri articoli.