Possiamo usare le leggi della termodinamica per stimare l’età della terra. Supponiamo che all’inizio la terra fosse una roccia incandescente e che si sia raffreddata nel corso del tempo irraggiando calore nello spazio vuoto.
Il problema può essere formulato matematicamente come segue. Sia T(r,t) la temperatura della terra alla distanza r dal nucleo, k la diffusività termica della roccia, e RT il raggio della terra. Si tratta di risolvere l’equazione del calore
∂T∂t=k∇2T
con le condizioni al contorno T(R,t)=0 (lo spazio vuoto è allo zero assoluto) e T(r,0)=T0 dove T0 è la temperatura di fusione della roccia.
Poiché la terra è sfericamente simmetrica T dipende solo dalla distanza dal nucleo, r, quindi il Laplaciano è semplicemente:
∇2T=1r2∂∂r(r2∂T∂r)
Possiamo quindi adottare il metodo della separazione delle variabili: T(r,t)=Θ(t)R(r), ottenendo:
Θ′=λkΘ1r2∂∂r(r2∂R∂r)=λR
Poiché k>0, se λ>0 allora la soluzione di Θ è un esponenziale che cresce col tempo. Questa soluzione non è fisicamente accettabile. Quindi λ<0, ovvero poniamo λ=−μ2. Pertanto otteniamo:
Θ=Θ0e−kμ2t1r2∂∂r(r2∂R∂r)=−μ2R
La seconda equazione è l’equazione di Helmholtz, la cui soluzione è data da:
R(r)=Asin(μr)r+Bcos(μr)r
Se B≠0 allora per r→0 abbiamo R(r)→∞, che non va bene. Quindi B=0. Applichiamo la condizione al contorno per ottenenere:
Asin(μRT)=0⟹μ=nπRT
Quindi per adesso abbiamo:
T(r,t)=∑nAn1rsin(nπrRT)e−kn2π2t/R2T
Utilizzando la condizione iniziale otteniamo:
T0=∑nAn1rsin(nπrRT)
Moltiplicando entrambi i lati per rsin(mπrRT) e integrando tra −RT ed RT abbiamo:
∫RT−RTT0rsin(mπrRT)dr=∑nAn∫RT−RTsin(nπrRT)sin(mπrRT)dr
A sinistra l’integrale ce lo calcola Wolfram Alpha. A destra usiamo l’ortogonalità delle funzioni seno. Pertanto otteniamo:
R2TT0−2cosπnπn=AnRT
Ovvero:
An=T02(−1)n+1RTnπ
Mettendo tutto insieme la soluzione è:
T(r,t)=T0∑n2(−1)n+1πnRTrsin(nπrRT)e−kn2π2t/R2T
Dobbiamo cercare una quantità osservabile. Di certo possiamo misurare T; però se la misuriamo alla superficie otteniamo 0 per la condizione al contorno. Se invece la misuriamo sotto la superficie, poi t è espresso implicitamente in modo molto brutto come una somma di esponenziali con coefficienti difficili e non è chiaro come si possa estrarlo. Allora ricorriamo ad un trucco. Calcoliamo:
∂T∂r|r=RT=T0∑n2(−1)n+11RTcos(nπ)e−kn2π2t/R2T==−2T0RT∑ne−kn2π2t/R2T≈−2T0RT∫∞0e−kx2π2t/R2Tdx=−T0√πkt
Il vantaggio è che così i coefficienti spariscono e possiamo approssimare la somma infinita con un integrale gaussiano.
Ora non resta che occuparsi dei valori numerici. Googlando in giro, la temperatura di fusione della roccia è T0≈1500K, la diffusività termica è circa k=10−6m2/s (vedete questo pdf a pag 94). Rimane il gradiente termico in superficie, che vale 3K ogni 100m. Per la definizione di derivata:
∂T∂r≈T(RT)−T(RT−h)h≈−0,03K/m
Pertanto troviamo:
t≈1π10−6m2/s(1500K0,03K/m)2≈8⋅1014s≈25 milioni di anni
Il che non è esattamente 6000 anni come sostengono certi, ma neanche 4,5 miliardi come sostengono altri. La motivazione per cui la cifra viene troppo piccola è che la Terra ha un’importante sorgente termica, dovuta al decadimento radioattivo dei nuclei di certi minerali (prevalentemente uranio). Scaldata dalla radioattività, impiega molto di più a raffreddarsi.
“…Scaldata dalla radioattività, ci impiega molto di più a raffreddarsi. “
Perché allora questa radioattività interna non viene mai rilevata???
Gentile Galileo,
la sua affermazione secondo cui la radioattività interna non viene mai rilevata è scorretta. Posso indicarle due articoli riguardo ai metodi e ai risultati delle rilevazioni:
https://arxiv.org/abs/1207.0853
https://www.nature.com/articles/ngeo1205
Spero che possano soddisfarla.
In realtà gli articoli propongono una teoria basata sui geo_neutrini che, come congettura, si ipotizza che siano associati al decadimento dei radionuclidi (allo stato liquido?) all’interno della Terra. Ma il riscaldamento dovuto a radioattività, poiché molto elevato, dovrebbe essere rilevabile semplicemente anche dalle eruzioni vulcaniche, o trivellando un pozzo molto profondo bisognerebbe rilevare anche minime quantità di radioattività che purtroppo non si rilevano.
Gentile Antonio,
la ringrazio per il commento. A quanto ne so ciò che lei afferma non corrisponde al consenso nel campo della geofisica, come ad esempio indicato negli articoli elencati in un precedente commento. Se potesse fornirmi un riferimento in sostegno delle sue affermazioni, sarò ben contento di studiarlo.