Classificazione dei poliedri regolari

Un poliedro regolare è un solido convesso le cui facce sono poligoni regolari (un triangolo equilatero, un quadrato, un pentagono regolare, ecc.). Ne esistono solo cinque: il tetraedro, l’esaedro (anche noto come il cubo), l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sono noti anche come “solidi platonici”. Perché questi sono gli unici possibili?

Partiamo da uno dei tanti teoremi di Eulero. Se $V$, $L$ ed $F$ sono il numero di vertici, di lati e di facce di un poliedro convesso, allora vale:

$$V -L + F = 2$$

Per procedere nell’analisi ci serviamo di due numeri:

• $n$, il numero di lati di uno dei poligoni che compone il poliedro
• $m$, il numero di lati che s’incontrano in uno qualsiasi dei vertici

Come mettiamo in relazione $n$ e $m$ con $V$, $L$ e $F$? Contiamo il numero di lati.

Il prodotto $n F$ ci da il numero di lati per poligono per il numero dei poligoni. In questo modo ogni lato è contato due volte (perché ogni lato appartiene a due poligoni), e quindi $L = n F/2$.

Allo stesso modo, il prodotto $m V$ conta il numero di lati per vertice per il numero dei vertici. Ogni lato è di nuovo contato due volte (perché ogni lato appartiene a due vertici), quindi $L = m V/2$. Sostituendo nel teorema di Eulero:

$$\frac{2L}{m} -L + \frac{2L}{n} = 2$$

Ovvero:

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{L}$$

Quest’equazione ammette poche soluzioni. Notiamo innanzitutto che $m, n \geq 3$ e che:

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} > \frac{1}{2}$$

Cioè:

$$n < \frac{2m}{m-2}$$

Ora, se $f(m) = \frac{2m}{m-2}$, allora $f'(m) = -4/(m-2)^2<0$, e la funzione decresce quindi all’aumentare di $m$. Poiché $n\geq 3$, ciò impone un valore massimo per $m$. Calcoliamo $f(3) = 6$, $f(4)=4$, $f(5) = 10/3$, $f(6)=3$. Pertanto $3 \leq m \leq 5$. Non ci resta che provarli tutti.

Per $m=3$ abbiamo tre possibilità per $n$:

• $n=3$. Sostituendo nell’equazione ottenuta abbiamo $L=6$. Abbiamo quindi trovato la prima soluzione, che corrisponde al tetraedro.
• $n=4$. Sostituendo abbiamo $L=12$, cioè otteniamo il cubo.
• $n=5$. Corrisponde a $L=30$, ovvero al dodecaedro.

Per $m = 4$ abbiamo solo una possibilità:

• $n=3$. La soluzione è simmetrica a quella ottenuta prima, cioè $L=12$. Abbiamo l’ottaedro.

Per $m=5$ abbiamo di nuovo solo una possibilità:

• $n=3$. Sostituendo abbiamo $L=30$, ovvero l’icosaedro.

Non ci sono altre possibilità, quindi questi sono tutti i poliedri regolari.