Se prendiamo un fluido viscoso tipo il miele e lo versiamo sul tavolo, si espanderà circolarmente. In quest’articolo calcoliamo il raggio che avrà assunto il miele al tempo $t$.
Per la conservazione della massa:
$$\pdv{h}{t} + \frac{1}{r} \pdv{(rq)}{r} = 0$$
dove $h(r,t)$ è lo spessore del fluido e $q(r,t) = \int_0^h u(r,z,t) dz$ è la portata. Usiamo coordinate cilindriche.
Poiché il fluido è molto viscoso, ignoriamo la parte inerziale delle equazioni di Navier Stokes e otteniamo:
$$\begin{cases} 0 = -\pdv{p}{r}+\mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ 0 = -\pdv{p}{z} -g \rho \end{cases}$$
Al contempo imponiamo le seguenti condizioni al contorno:
\begin{align*}
p &= p_0 \,\,\mathrm{costante\,\,su}\,\, z=h\\
u &= 0\,\, \mathrm{su}\,\, z=0 \,\,\mathrm{(aderenza)}\\
\pdv{u}{z} &= 0 \,\,\mathrm{su}\,\, z=h \,\,\mathrm{(continuita’\,\,degli\,\,sforzi)}
\end{align*}
Con la prima condizione possiamo subito integrare la seconda equazione:
$$p = p_0 +\rho g (h-z)$$
Pertanto
$$\pdv{p}{r} = \rho g \pdv{h}{r}$$
Quindi integrando la seconda equazione:
$$u = \frac{\rho g}{2\mu} \pdv{h}{r} z (z-2h)$$
Da qui possiamo ottenere $q$:
$$q(r,t) = \int_0^h u(r,z,t) dz = \frac{- g \rho h^3}{3\mu} \pdv{h}{r}$$
Inserendo questo risultato nella conservazione della massa otteniamo un’equazione per $h$:
$$\pdv{h}{t} = \frac{g \rho}{3\mu} \frac{1}{r} \pdv{}{r} \left(r h^3 \pdv{h}{r}\right)$$
Per risolvere l’equazione adoperiamo una tipica argomentazione fluidodinamica. Il volume della massa di miele è costante:
$$V = 2\pi \int_0^{R(t)} r h(r,t) dr$$
dove $R(t)$ è il raggio del cerchio di miele. Sia $H$ la scala dell’altezza e $L$ la scala del raggio. Allora poiché il volume è conservato abbiamo che $V \sim H L^2$. Scalando l’equazione per $h$ otteniamo:
$$\frac{H}{t} \sim \frac{g \rho}{3\mu} \frac{H^4}{L^2}$$
Usando quest’ultima e $V \sim H L^2$ otteniamo:
$$L \sim \left( \frac{V^3 \rho g t}{\mu}\right)^{1/8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,H \sim \left( \frac{\mu V}{\rho g t}\right)^{1/4}$$
L’analisi dimensionale già ci da il comportamento qualitativo del raggio del miele: $R(t) \sim t^{1/8}$, che cresce quindi molto lentamente. Per ottenere la costante di proporzionalità dobbiamo risolvere l’equazione. In base alle scale che abbiamo trovato definiamo:
$$\eta = \frac{r}{L} = \left( \frac{\mu}{V^3 \rho g t}\right)^{1/8} r$$
adimensionale. Poi poniamo:
$$h = H f(\eta) = \left( \frac{\mu V}{\rho g t}\right)^{1/4} f(\eta)$$
Sostituendo otteniamo un’equazione per $f$:
$$-2f-\eta f’ = \frac{8}{3} \frac{1}{\eta} \dv{}{\eta} (\eta f^3 f’)$$
Le condizioni al contorno tradotte per $f$ sono $f'(0)=0$ (non c’è flusso al centro), e $f(R/L)=0$ dove $R$ è il raggio del cerchio (ovvero l’altezza del cerchio è zero al bordo). Integrando due volte con le condizioni al contorno otteniamo:
$$f=\left(\frac{9}{16} (R^2/L^2-\eta^2) \right)^{1/3}$$
A questo punto calcoliamo il volume totale:
$$V = 2\pi \int_0^R r h(r,t) dr = \pi V \left(\frac{3}{4}\right)^{5/3} \left(\frac{R}{L}\right)^{8/3}$$
Invertendo troviamo finalmente il risultato che cercavamo:
$$R(t) = \left[\frac{2^{10}}{3^5 \pi^3} \frac{V^3 \rho g t}{\mu}\right]^{1/8} \approx 0,78 \left(\frac{V^3 \rho g}{\mu}\right)^{1/8} t^{1/8}$$