Supponiamo di avere un sistema quantistico in una dimensione, con Hamiltoniana
$$H = \frac{p^2}{2m}+V(x)$$
e il potenziale è della forma $V = A x^r$. Per quali $r$ questo potenziale ammette stati vincolati? Adoperiamo il teorema viriale, di cui proponiamo una breve derivazione.
Cos’è uno stato vincolato
Si dice che uno stato vincolato è uno stato che ha energia negativa. Tuttavia il punto zero dell’energia è arbitrario, quindi questa non può essere la definizione corretta. Infatti l’oscillatore armonico quantistico ha infiniti stati vincolati con energia positiva. La definizione corretta è la seguente: uno stato è vincolato se ha energia minore del valore del potenziale all’infinito.
In termini intuitivi uno stato è vincolato se non può sfuggire all’infinito, ma è al contrario costretto (“vincolato”) a rimanere in una regione finita. L’energia di uno stato è data dall’energia cinetica $T$ e dall’energia potenziale $V$, cioè $E=T+V$. Poiché $T$ può essere solo positiva, se $E < V(\infty)$ allora non è possibile che la “particella” si trovi all’infinito.
Da ciò ne deduciamo che per i potenziali della forma $V = A x^r$ con $r > 0$ allora $V(\infty) = \pm \infty$ in base al segno di $A$. Se $A$ è negativo all’infinito il potenziale è negativo e quindi propriamente parlando non ci sono stati vincolati. Se invece $A$ è positivo, allora $V$ tende all’infinito e quindi tutti gli stati sono vincolati. Perciò in quanto segue ci basta considerare il caso $r>0$.
Il teorema viriale
Per dimostrare il teorema, usiamo l’operatore $Q = xp$, una specie di “momento angolare”. Chiamiamo $T=p^2/2m$ l’energia cinetica. Possiamo calcolare la derivata temporale di $Q$ usando l’equazione di Heisenberg:
\begin{align*}
\frac{dQ}{dt} &= \frac{i}{\hbar}[H,Q]=\frac{i}{\hbar}\left[\frac{p^2}{2m}+V(x),xp\right]=\\
&=\frac{i}{2m \hbar}[p^2,x]p+\frac{i k}{\hbar}x[V(x),p]=2 \frac{p^2}{2m}-x V'(x)= 2T -x V'(x)
\end{align*}
Prendendo le medie otteniamo:
$$\frac{d}{dt} \langle x p \rangle= 2 \langle T \rangle -\langle x V'(x) \rangle$$
In uno stato stazionario il valore atteso di un operatore è costante, proprio perché lo stato è stazionario; ciò implica che la derivata di $\langle x p \rangle$ è nulla. Pertanto otteniamo la versione più nota del teorema viriale in meccanica quantistica:
$$2 \langle T \rangle = \langle x V'(x) \rangle$$
Nel caso di nostro interesse, possiamo sostituire $V$ e ottenere
$$2 \langle T \rangle = r\langle V \rangle$$
che è la forma che ci interessa.
Applicazione agli stati vincolati
Ora che abbiamo visto il teorema viriale, lo utilizziamo per dedurre delle condizioni sugli stati vincolati. Abbiamo già visto nella prima parte dell’articolo che se $r>0$ allora o tutti gli stati sono vincolati o nessuno lo è. Perciò ora consideriamo il caso $r < 0$: poiché in questo caso $V(\infty)=0$, uno stato è vincolato se ha energia negativa. Pertanto otteniamo la condizione:
$$\langle T \rangle + \langle V \rangle \leq 0$$
Sostituendo il teorema viriale:
$$\langle T \rangle \left( 1+\frac{2}{r} \right) \leq 0$$
L’energia cinetica è positiva, pertanto lo è anche il suo valore atteso. Otteniamo quindi la disequazione $\frac{2}{r} \leq -1$. Poiché $r < 0$, ciò implica
$$-2 \leq r < 0$$
Tutti gli altri potenziali della stessa forma non ammettono stati vincolati. Per fortuna il potenziale di Coulomb, $r=-1$, ammette stati vincolati.