Una mappa conforme è una funzione che preserva gli angoli. Nel piano complesso, una funzione è conforme se è analitica e ha derivata non nulla. Segue la dimostrazione.
Supponiamo che due curve nel piano complesso $\gamma_1 , \gamma_2 : [0,1] \to \mathbb{C}$ s’intersechino in un punto $z_0$, diciamo $\gamma_1(t_1)=\gamma_2(t_2)=z_0$.
L’angolo tra le due curve è l’angolo tra le loro tangenti, e poiché le due derivate $\gamma_1’$ e $\gamma_2’$ sono numeri complessi, l’angolo tra le due curve è dato da
$$\arg{\frac{\gamma_1^\prime}{\gamma_2^\prime}}$$
dato che appunto la derivata è il coefficiente angolare della tangente e inoltre
$$\arg{\frac{\gamma_1^\prime}{\gamma_2^\prime}}=\arg{\frac{r_1 \exp{i\theta_1}}{r_2 \exp{i\theta_2}}}=\arg{\left(\frac{r_1}{r_2} \exp{i(\theta_1-\theta_2)}\right)}=\theta_1-\theta_2$$
Se applichiamo la mappa conforme, $\gamma_1$ è mappata a $\tilde{\gamma}_1 = f(\gamma_1)$ e $\gamma_2$ a $\tilde{\gamma}_2 = f(\gamma_2)$, quindi l’angolo tra le nuove curve è
$$\arg{\frac{\tilde{\gamma}_1^\prime}{\tilde{\gamma}_2^\prime}}=\arg{\frac{f'(z_0)\gamma_1^\prime}{f'(z_0) \gamma_2^\prime}} = \arg{\frac{\gamma_1^\prime}{\gamma_2^\prime}}$$
dove la prima uguaglianza segue dalla regola della catena, poiché $f$ è analitica, e la seconda segue dal fatto che la derivata di $f$ è non nulla. Possiamo concludere che $f$ preserva gli angoli.