Sappiamo tutti che le particelle hanno una quantità chiamata spin. Lo spin può essere $0, \frac12, 1, \frac32, \ldots$, ed è fondamentale nella descrizione matematica delle particelle, specialmente in teoria quantistica dei campi. Lo spin della particella infatti determina la forma della Lagrangiana libera, che è la parte della Lagrangiana (l’altra parte è quella di interazione) che appunto determina i tipi di particelle presenti nella teoria.
Per capire bene questo post è consigliato avere un’infarinatura di teoria delle rappresentazioni, sapere vagamente cos’è un rivestimento universale, e capire qualcosa di gruppi e algebre di Lie.
La forma della lagrangiana libera è determinata dalla “simmetria” della teoria. Ad esempio, in teoria quantistica dei campi, vogliamo l’invarianza rispetto alle trasformazioni di Lorentz, perché stiamo costruendo una teoria relativistica. Questo requisito ha una chiara interpretazione in termini di teoria delle rappresentazioni. Dato il gruppo di simmetria $G$ della teoria, ad esso corrispondono molteplici rappresentazioni, date da una coppia $(\rho, V)$, dove $V$ è uno spazio vettoriale e $\rho : G \to \mathrm{GL}(V)$ è un omomorfismo da $G$ al gruppo delle matrici su $V$. Scalari, spinori e vettori corrispondono a tre diverse rappresentazioni del gruppo di Lorentz, il gruppo di simmetria della teoria quantistica dei campi.
Il gruppo di Lorentz
Il gruppo di Lorentz $\mathrm{O}(3,1)$ è il gruppo delle trasformazioni che preserva la metrica di Minkowski, cioè il gruppo delle matrici $\Lambda$ tali che:
$$\eta_{\mu\nu} = \Lambda^{\sigma}_{\,\,\mu}\eta_{\sigma \rho} \Lambda^{\rho}_{\,\,\nu}$$
Il $(3,1)$ sta proprio ad indicare la segnatura della metrica di Minkowski. Possiamo riscrivere questa condizione in termini matriciali come $\eta = \Lambda \eta \Lambda^T$. Calcolando il determinante da entrambi i lati abbiamo che $|\det{\Lambda}| = 1$, e poiché $\Lambda$ è reale, $\det{\Lambda} = \pm 1$. Il gruppo di trasformazioni che preservano l’orientazione dello spaziotempo, cioè hanno determinante positivo, è chiamato $\mathrm{SO}(3,1)$, o anche gruppo di Lorentz proprio. Un’altra distinzione importante è quella delle trasformazioni che invertono o meno il senso del tempo. Le trasformazioni con $\Lambda_{00}>0$ lasciano invariato il senso del tempo (per capire perché considerate la formula esplicita della matrice) e sono dette trasformazioni ortocrone. Il gruppo $\mathrm{SO}^+(3,1)$ è il gruppo di Lorentz proprio ortocrono, che conserva tanto l’orientazione dello spazio quanto quella del tempo.
Perché consideriamo solo $\mathrm{SO}^+(3,1)$? Sperimentalmente, l’inversione temporale ($T$) e l’inversione spaziale (anche detta parità, $P$) non sono simmetrie esatte di tutte le teorie fisiche (ad esempio non sono simmetrie della forza debole), mentre le altre in $\mathrm{SO}^+(3,1)$ lo sono sempre, almeno per quanto ne sappiamo. Le due matrici che danno queste trasformazioni sono:
$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
e possiamo ottenere ogni matrice in $\mathrm{O}(3,1)$ a partire da una in $\mathrm{SO}^+(3,1)$ applicando $P$ e/o $T$. Nonostante né $P$ né $T$ siano simmetrie esatte di tutte le teorie, risultano comunque spesso utili e dobbiamo tenerle a mente, perché molte teorie sono comunque simmetriche rispetto ad esse. Se aggiungiamo la simmetria $C$, detta coniugazione di carica, allora applicando tutte e tre, cioè $CPT$, otteniamo una simmetria esatta di tutte le teorie quantistiche dei campi.
C’è anche un altro motivo per cui ci interessa solo $\mathrm{SO}^+(3,1)$. Il gruppo $\mathrm{O}(3,1)$ ha una topologia non banale, nel senso che non è connesso. Ha infatti quattro componenti distinti: uno che preserva sia spazio che tempo ($\mathrm{SO}^+(3,1)$), un altro che inverte il tempo ma preserva lo spazio (circa $T \mathrm{SO}^+(3,1)$), un altro che preserva il tempo, ma inverte lo spazio ($P \mathrm{SO}^+(3,1)$), e l’ultimo che inverte sia spazio che tempo ($PT \mathrm{SO}^+(3,1)$). Tra tutti questi l’unico a contenere la matrice identità è $\mathrm{SO}^+(3,1)$, ed è quindi il componente connesso all’identità, e l’unico che possiamo ottenere attraverso la funzione esponenziale dell’algebra di Lie: una proprietà molto utile.
Rivestimento universale e rappresentazione dell’algebra
In generale un campo può trasformare come:
$$\phi^a (x) \to D[\Lambda]^a_b \phi^b (\Lambda^{-1} x)$$
dove $D$ è una qualsiasi rappresentazione del gruppo di Lorentz (proprio ortocrono). Allora si tratta di capire quali siano le rappresentazioni del gruppo di Lorentz.
C’è però una complicazione: tanto in meccanica quantistica quanto in teoria quantistica dei campi, gli stati sono elementi di uno spazio di Hilbert, e come sappiamo bene tanto $\ket \psi$ che $e^{i\phi} \ket \psi $ rappresentano lo stesso stato. Ora, date due trasformazioni di Lorentz $\Lambda_1$ e $\Lambda_2$, e una loro rappresentazione $D[\Lambda_1], D[\Lambda_2]$ è chiaro che applicando ad uno stato $\ket \psi$ la trasformazione $D[\Lambda_1] D[\Lambda_2]$ oppure la trasformazione $D[\Lambda_1 \Lambda_2]$ non dovrebbe esserci differenza: in ognuno dei due casi dobbiamo ottenere lo stesso stato finale. Eppure gli stati sono definiti solo a meno di una fase! Allora in generale:
$$D[\Lambda_1] D[\Lambda_2] \ket \psi = e^{i\phi_{12}} D[\Lambda_1 \Lambda_2] \ket \psi$$
dove $\phi_{12}$ dipende in linea di principio dalla trasformazione di Lorentz che abbiamo scelto. Una rappresentazione del genere è detta “rappresentazione proiettiva”.
Chiaramente la fase è una cosa orrenda e vorremmo liberarcene: a volte è possibile ridefinire la rappresentazione $D$ per eliminarla, ma non sempre. Si può dimostrare che $\phi$ può essere sempre scelta uguale a $0$ se il gruppo rappresentato è semplicemente connesso. La questione allora può essere risolta “allargando” il gruppo di partenza, ottenendo quello che è chiamato il suo rivestimento universale. Infatti è un teorema che le rappresentazioni proiettive (e non) di un gruppo sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni (non proiettive) del suo rivestimento universale. Di queste cose abbiamo parlato altrove.
Il rivestimento universale di $\mathrm{SO}^+(3,1)$ è il gruppo speciale lineare complesso $SL(2,\mathbb{C})$, cioè il gruppo delle matrici complesse $2 \times 2$ con determinante uguale a $1$. Allora la domanda adesso diventa: quali sono le rappresentazioni di $SL(2,\mathbb{C})$? Poiché $SL(2,\mathbb{C})$ è semplicemente connesso, è un teorema che tutte le sue rappresentazioni possono essere ottenute attraverso l’esponenziale delle rappresentazioni della sua algebra di Lie. Quindi procediamo a studiare la sua algebra di Lie.
L’algebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ di $SL(2,\mathbb{C})$ è formata dalle matrici complesse $2 \times 2$ a traccia nulla. Inoltre, è isomorfa alla complessificazione dell’algebra $\mathfrak{su}(2)$, composta dalle matrici complesse $2 \times 2$ anti-hermitiane a traccia nulla:
$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\cong \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}$$
L’effetto della complessificazione è in pratica di raddoppiare i generatori dell’algebra. Se infatti $\mathfrak{g}$ ha un insieme di generatori $\{T^a\}$ allora la sua complessificazione $\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$ avrà generatori $\{T^a, i T^a\}$ (questo non vale in genere, ma vale per $\mathfrak{su}(2)$ poiché se $T \in \mathfrak{su}(2)$ allora è antihermitiana, quindi $iT\notin \mathfrak{su}(2)$ poiché hermitiana). Com’è standard nello studio delle rappresentazioni delle algebre di Lie, sappiamo che un’algebra e la sua complessificazione hanno in un senso preciso le stesse rappresentazioni; ma studiare le rappresentazioni complesse è più facile, quindi ci occupiamo di quelle. In particolare, dobbiamo studiare la complessificazione dell’algebra $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. Per il discorso che abbiamo fatto sopra:
$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_{\mathbb{C}} \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \cong \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}$$
Abbiamo finito, perché conosciamo già le rappresentazioni di $\mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}$ dalla meccanica quantistica. Infatti in meccanica quantistica il gruppo di simmetria è il gruppo delle rotazioni $\mathrm{SO}(3)$. Come abbiamo visto, dobbiamo considerarne il rivestimento universale, che è in questo caso $\mathrm{SU}(2)$. Prendendone l’algebra e complessificandola otteniamo appunto $\mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}$.
Le rappresentazioni di $\mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}$ sono quelle del momento angolare: ognuna è caratterizzata da un numero $j$ positivo intero o semintero, e una rappresentazione caratterizzata dal numero $j$ ha dimensione $2j+1$. Quindi tornando a noi, le rappresentazioni di $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ sono caratterizzate da una coppia di numeri $(j_1, j_2)$, ognuna con dimensione $(2j_1+1)(2j_2+1)$. In particolare:
- la rappresentazione $(0,0)$ ha spin $0$, $1$ componente, e corrisponde ad uno scalare.
- le rappresentazioni $(0,\frac12)$ e $(\frac12,0)$ hanno entrambe spin $\frac12$, $2$ componenti ognuna e corrispondono a due spinori detti di Weyl: destrorso e sinistrorso.
- la rappresentazione $(\frac12,\frac12)$ ha spin $1$, $4$ componenti e corrisponde ad un vettore.
Possiamo costruire anche rappresentazioni più grandi. Ad esempio il gravitone, particella ipotetica di spin $2$, trasformerebbe secondo la rappresentazione $(1,1)$. Spesso si adoperano anche i seguenti nomi per gli spinori:
- spinori di Majorana. Sono spinori di Weyl a cui sono imposte delle condizioni ulteriori: la rappresentazione dev’essere reale, e invariante rispetto alla simmetria $C$.
- spinori di Dirac. Sono la somma diretta di due spinori di Weyl, cioè trasformano secondo la rappresentazione $(0,1/2)\oplus (1/2,0)$. Ognuno degli spinori di Weyl è rappresentato da un vettore a due componenti; in uno spinore di Dirac, li mettiamo nello stesso vettore uno dopo l’altro, e quindi lo spinore totale ha quattro componenti.
Come trasformano i campi
Adesso vediamo le formule pratiche. Sappiamo che le coordinate trasformano come $x’^\mu = \Lambda^\mu_{\,\,\nu} x^\nu $. Un campo scalare è per definizione invariante rispetto alla trasformazioni di Lorentz, quindi trasforma come:
$$\phi(x)\to\phi'(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$$
Il fattore di $\Lambda^{-1}$ è un po’ sorprendente, ed è dovuto al fatto che l’invarianza del campo scalare significa propriamente $\phi'(x’)=\phi(x)$.
In modo simile un campo vettoriale, cioè descritto da un indice, trasforma come:
$$A^\mu (x)\to A’^\mu (x)=\Lambda^\mu_{\,\,\nu} A^\nu (\Lambda^{-1}x)$$
che sarebbe appunto la rappresentazione a dimensione $4$ o anche $(1/2,1/2)$ che abbiamo visto sopra.
In generale, poiché $SL(2,\mathbb{C})$ è semplicemente connesso, le sue rappresentazioni sono tutte ottenute dalla mappa esponenziale di rappresentazioni della sua algebra di Lie.
Se $L_{\mu\nu}$ è una rappresentazione dell’algebra di Lorentz, e $\omega^{\mu\nu}$ una matrice antisimmetrica che racchiude i $6$ parametri del gruppo di Lorentz, allora un campo che trasforma rispetto a questa rappresentazione dell’algebra trasforma come:
$$\Phi_a(x) \to \sum_b \bqty{ \exp \pqty{ \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} L_{\mu\nu} } }_{ab} \Phi_b(x)$$
A questo punto si tratta di capire quale rappresentazione dell’algebra di Lorentz corrisponde a quale tipo di campo. L’algebra di Lorentz è composta da quegli elementi $L_{\mu\nu}$ che soddisfano
$$[L_{\mu\nu},L_{\rho\sigma}]=i(\eta_{\mu\sigma}L_{\nu\rho}-\eta_{\mu\rho}L_{\nu\sigma}-\eta_{\nu\sigma}L_{\mu\rho}+\eta_{\nu\rho}L_{\mu\sigma})$$
Dobbiamo scegliere delle matrici che soddisfino queste relazioni. Abbiamo diverse possibilità:
- $L_{\mu\nu} = 0$, che corrisponde agli scalari.
- $L_{\mu\nu} = \left(J_{\mu\nu}\right)_{ab} =-i \left( \eta_{\mu a} \eta_{\nu b} -\eta_{\mu b} \eta_{\nu a} \right)$ che corrisponde ai vettori.
- $L_{\mu\nu} = S_{\mu\nu} = \frac{i}{4} [\gamma_\mu , \gamma_\nu]$, che corrisponde agli spinori di Dirac.
- $L_{\mu\nu} = M_{\mu\nu} = i( x_\mu \partial_\nu -x_\nu \partial_\mu)$ che è una “matrice” infinito-dimensionale e corrisponde alla dipendenza spaziotemporale (ha l’effetto di cambiare l’argomento della funzione).
Per ottenere la legge di trasformazione di un campo, dobbiamo sempre combinare una delle tre (scalare, spinoriale, vettoriale) con quella per la dipendenza spaziotemporale, sommandole. Ad esempio, per un campo vettoriale dovremmo scegliere $L_{\mu\nu} = \pqty{J_{\mu\nu}+M_{\mu\nu}}$, ecc.