Il teorema di Noether afferma che ad ogni simmetria continua dell’azione di un sistema corrisponde una corrente conservata. Consideriamo solo il caso di una teoria di campo relativistica.
Prima dimostrazione
Consideriamo l’azione per un certo campo $\phi$:
$$S[\phi]=\int d^4 x \,\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)$$
Effettuiamo una trasformazione infinitesimale del campo $\phi \to \phi’ = \phi + \theta \Delta \phi +\mathcal{O}(\theta^2)$. L’azione è invariante se la lagrangiana varia al più per una derivata totale:
$$\mathcal{L}\to \mathcal{L}’ = \mathcal{L} + \theta \, \partial_\mu K^\mu+\mathcal{O}(\theta^2)$$
Al contempo possiamo calcolare la variazione della lagrangiana:
$$\Delta \mathcal{L} = \pdv{L}{\phi}\Delta \phi + \pdv{L}{(\partial_\mu \phi)} \partial_\mu \Delta \phi = $$
$$= \left[ \pdv{L}{\phi} -\partial_\mu \left(\pdv{L}{(\partial_\mu \phi)}\right) \right]\Delta \phi + \partial_\mu\left(\pdv{L}{(\partial_\mu \phi)} \Delta\phi\right) = \partial_\mu\left(\pdv{L}{(\partial_\mu \phi)} \Delta\phi\right)$$
Nell’ultima riga il termine tra parentesi quadrate è zero purché $\phi$ soddisfi le equazioni del moto. Per cui confrontando le due espressioni per la variazione della lagrangiana otteniamo:
$$\partial_\mu \left(K^\mu -\pdv{L}{(\partial_\mu \phi)} \Delta\phi\right)=0$$
e la roba tra parentesi è la corrente conservata (conservata solo per quei $\phi$ che soddisfano le equazioni del moto, cioè onshell).
Seconda dimostrazione
La seconda dimostrazione procede invece su una linea diversa. L’affermazione che l’azione sia invariante rispetto alla trasformazione si può anche affermare dicendo che:
$$S[\phi’]=S[\phi+\theta \Delta \phi] = S[\phi] + \mathcal{O}(\theta^2)$$
Che è del tutto equivalente ad affermare che al prim’ordine la lagrangiana varia al massimo per una derivata totale. Ora supponiamo che il parametro $\theta$ sia diverso per ogni punto dello spaziotempo, ovvero la trasformazione è data da:
$$\phi(x) \to \phi'(x)=\phi(x) + \theta(x)\Delta \phi(x) + \mathcal{O}(\theta^2)$$
Poiché per $\theta$ costante la variazione dell’azione è zero al prim’ordine, quando $\theta=\theta(x)$ la variazione al prim’ordine dev’essere della forma:
$$\Delta S = -\int d^4 x \, J^\mu \partial_\mu \theta(x)=\int d^4 x \, \theta(x) \partial_\mu J^\mu$$
dove $J$ è un qualche vettore e abbiamo effettuato un’integrazione per parti. Al contempo la variazione dell’azione può anche essere scritta come:
$$\Delta S = \int d^4 x \, \fdv{S}{\phi} \theta(x) \Delta \phi(x)$$
Ma se il campo $\phi$ soddisfa le equazioni del moto, cioè le equazioni di Eulero-Lagrange, allora $\fdv{S}{\phi}=0$ e quindi $\Delta S=0$. Pertanto
$$\partial_\mu J^\mu=0$$
e $J^\mu$ è la corrente conservata.
Non è banale dimostrarlo, ma la corrente che si ottiene con i due metodi è sempre la stessa.