Come abbiamo visto in un articolo precedente, una forma della relazione di indeterminazione di Heisenberg afferma che
$$t_\perp \geq \frac{\pi \hbar}{2 \Delta E}\tag{1}$$
dove $t_\perp$ è il tempo impiegato dal sistema per passare ad uno stato ortogonale.
La disuguaglianza di Levitin-Margolus è un risultato molto simile, ma anche molto sorprendente:
$$t_\perp \geq \frac{\pi \hbar}{2 (\expval{E} -E_0)}\tag{2}$$
Secondo $(1)$ sembrerebbe possibile abbassare il vincolo su $t_\perp$ semplicemente scegliendo uno stato con $\Delta E$ grande. Invece la $(2)$ afferma che ciò non è sufficiente: bisogna anche modificarne l’energia media. Ciò è particolarmente significativo per gli stati a bassa energia. La disuguaglianza di Levitin-Margolus pone ad esempio un limite al numero di operazioni eseguibili da un computer in un dato intervallo di tempo.
La dimostrazione è semplice ma non banale. Supponiamo per semplicità $E_0=0$. Un sistema quantistico si trova al tempo $t=0$ nello stato
$$\ket{\psi(0)}=\sum a_n \ket{E_n}$$
L’evoluzione temporale è data da
$$\ket{\psi(t)}=\sum a_n e^{-itE_n/\hbar} \ket{E_n}$$
Pertanto il prodotto scalare tra lo stato iniziale e lo stato al tempo $t$ è dato da:
$$\braket{\psi(0)}{\psi(t)}=\sum \abs{a_n}^2 e^{-itE_n/\hbar}\tag{*}$$
Possiamo quindi mettere in relazione la parte reale e immaginaria:
\begin{align*}
\mathrm{Re} \braket{\psi(0)}{\psi(t)}&=\sum |a_n|^2 \cos{\pqty{t E_n/\hbar}}\geq\\
&\geq \sum |a_n|^2 \bqty{1-\frac{2}{\pi} \pqty{t E_n/\hbar+\sin{(t E_n/\hbar)}}}=\\
&=1-\frac{2\langle E \rangle}{\pi \hbar}t+\frac{2}{\pi} \mathrm{Im}\langle \psi(0)\lvert\psi(t)\rangle
\end{align*}
dove abbiamo usato la disuguaglianza non banale, valida per $x\geq 0$:
$$\cos{x} \geq 1-\frac{2}{\pi}(x+\sin{x}) $$
Per dimostrare questa disuguaglianza si può studiare il minimo di $f(x)=\cos{x}-1+\frac{2}{\pi}(x+\sin{x})$ calcolandone la derivata. Il calcolo è sgradevole, ma fattibile.
Il tempo $t_\perp$ è il tempo che impiega il sistema per evolvere in uno stato ortogonale, ed è quindi il primo $t$ per cui il prodotto $(*)$ è zero. Perciò al tempo $t_\perp$ tanto la parte reale quanto quella immaginaria del prodotto si azzerano, quindi otteniamo la disuguaglianza:
$$0 \leq 1-\frac{2\expval{E}}{\pi \hbar}t_\perp\implies t_\perp \geq \frac{\pi \hbar}{2\expval{E}}$$
che è il risultato che cercavamo.
L’articolo originale di Levitin e Margolus lo trovate qui.