Supponiamo di sospendere una corda, o una catena, da due punti alla stessa altezza. Quale forma prende la corda? La forma assomiglia molto ad una parabola, ma non lo è. Vediamo di ricavare la soluzione usando un po’ di calcolo delle variazioni.
Aabbiamo una corda, o una catena, appesa ai punti $(-a,h)$ e $(a,h)$ in un piano cartesiano dove la coordinata orizzontale è $x$ e quella verticale è $y$. La catena assumerà una forma a noi ignota $y(x)$. La forma assunta dalla corda sarà quella che minimizza il suo potenziale gravitazionale. Scriviamo perciò il potenziale come un funzionale di $y$ e da ciò deriviamo il valore di $y$ che estremizza il potenziale.
La corda ha una certa densità lineare, diciamo $\lambda$, e ogni frammento infinitesimale di corda contribuisce al potenziale gravitazionale un valore pari a $(dm)gy$ dove $y$ è l’altezza a cui si trova il frammento. Ora $dm=\lambda dl$ dove $dl$ è la lunghezza del frammento: questa vale $dl = \sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(y’)^2} dx$. A questo punto basta mettere tutto insieme e integrare per l’intera lunghezza della corda:
$$ V[y] = g \lambda \int_{-a}^{a} y \sqrt{1+(y’)^2} dx$$
Dobbiamo imporre il vincolo che la corda sia di lunghezza fissa, cioè:
$$L[y] = \int_{-a}^{a} \sqrt{1+(y’)^2} dx = l$$
dove $l$ è una costante. Adoperiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Costruiamo il funzionale di Lagrange associato:
$$\mathcal{L}[y,\mu] = V[y] + \mu (L[y] -l) = \int_{-a}^{a} (g \lambda y+\mu) \sqrt{1+(y’)^2} dx$$
dove $\mu$ è il moltiplicatore di Lagrange. Poiché l’integranda non dipende direttamente dal parametro d’integrazione $x$ vale l’identità di Beltrami:
$$(g \lambda y+\mu) \sqrt{1+(y’)^2}-y’ \pdv{}{y’} \bqty{(g \lambda y+\mu) \sqrt{1+(y’)^2}} = c$$
per una qualche costante $c$. Svolgendo i conti, l’equazione sopra conduce a:
$$\frac{(g \lambda y+\mu)}{\sqrt{1+(y’)^2}}= c$$
Dividendo per $g \lambda$ e assorbendo tutto nella costante a destra abbiamo la leggera semplificazione:
$$\frac{(y+\frac{\mu}{g \lambda})}{\sqrt{1+(y’)^2}}= c$$
Esplicitando $y’$ abbiamo:
$$\frac{y’}{\sqrt{(y+\frac{\mu}{g \lambda})^2/c^2-1}} = \pm 1$$
Per svolgere l’integrale effettuiamo la sostituzione standard $y + \frac{\mu}{g \lambda} = c \cosh(u)$ e otteniamo
\begin{align*}
\pm(x-x_0) &= \int \frac{dy}{\sqrt{(y+\frac{\mu}{g \lambda})^2/c^2-1}}=\int \frac{c \sinh(u)du}{\sqrt{\cosh^2(u)-1}} = c u =\\
&=c \cosh^{-1}\left(\frac{y+\mu/(g\lambda)}{c}\right)
\end{align*}
Invertendo troviamo:
$$\boxed{y + \frac{\mu}{g\lambda} = c \cosh\left(\frac{x-x_0}{c}\right)}$$
Questa è l’equazione di una cosiddetta catenaria, anche se non è altro che un coseno iperbolico. Come vedete la forma assomiglia molto a quella di una parabola. Volendo potremmo anche determinare i valori di $\mu$ e $x_0$ a partire dalle condizioni iniziali, ma non è un granché utile.