Nel presente articolo calcoliamo la densità degli stati nel caso di particelle classiche libere in $1$ e $2$ dimensioni spaziali. Ne deriviamo inoltre alcune conseguenze.
La densità degli stati in generale
Vediamo da dove viene la densità degli stati. In fisica statistica ci troviamo spesso a calcolare delle sommatorie della forma $\sum_{n} f(n)$ dove i numeri naturali $n$ indicizzano i microstati del sistema e $f$ è una funzione qualsiasi. Calcolare somme è molto più complicato che calcolare integrali, perciò vogliamo trasformare la somma in un integrale. La densità degli stati serve a questo scopo. Ovvero vogliamo scrivere la somma come
$\sum_{n} f(n) \approx \int dE\, g(E) f(E)$
dove $g(E)$ è la densità degli stati. Ovvero, ad ogni microstato $n$ è associata una certa energia $E_n$. Se le energie sono molto fitte, la somma sulle energie può essere approssimata da un’integrale. Il fattore di correzione da introdurre per effettuare questa trasformazione è appunto la densità degli stati. Vediamo come calcolarla.
La densità degli stati in due dimensioni
In due dimensioni, per ${\textbf n} \in \mathbb{N}^2$ che etichetta gli stati, possiamo supporre che le condizioni al contorno confinino l’impulso ai valori $k_i = 2\pi n_i / L$. L’energia è $E = \hbar^2 k^2 / 2m$, quindi $dE = \hbar^2 k dk / m$.
La sommatoria sugli stati pertanto può essere approssimata come:
$$\sum_{{\textbf n}} \approx \int d^2 {\textbf n} = \frac{A}{4\pi^2} \int d^2 {\textbf k} = \frac{A}{2\pi} \int dk k = \frac{A m}{2\pi \hbar^2} \int dE$$
dove $A$ è l’area del sistema, che è appunto bidimensionale. La penultima uguaglianza segue integrando le componenti angolari del vettore ${\textbf k}$, e così otteniamo l’area di una $1$-sfera di raggio $1$, cioè un cerchio. La densità degli stati in 2D è quindi:
$$\boxed{g_{2D}(E) = \frac{A m}{2\pi \hbar^2}}$$
costante indipendente da $E$.
La densità degli stati in una dimensione
In una dimensione, il calcolo è analogo:
$$\sum_n \approx \int dn = \frac{L}{2\pi} \int dk = \frac{L}{\pi} \int d|k| = \frac{L m}{\pi \hbar^2} \int dE \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m E}}$$
Nel penultimo passaggio il fattore di $2$ è l’area di una $0$-sfera: infatti passando da $k$ (un numero reale) al suo modulo comprimiamo sia $k$ che $-k$ nello stesso numero. La densità degli stati è quindi:
$$\boxed{g_{1D}(E) = \frac{L}{\pi \hbar} \sqrt{\frac{m}{2 E}}}$$
e decresce con l’energia.
Conseguenze
In particolare ciò ha effetti sulla possibilità di un gas di bosoni di condensare alla Bose-Einstein. In due dimensioni, infatti, la densità dei bosoni è
$$\frac{N}{A} = \frac{m}{2\pi \hbar^2} \int \frac{dE}{z^{-1} e^{\beta E}-1}=\frac{m k T}{2\pi \hbar^2} \log{\left(\frac{1}{1-z}\right)}$$
dove $\beta = 1/kT$ e $z=e^{\beta \mu}$ è la fugacità. Diminuendo $T \to 0$, $z\to 1$ e quindi il logaritmo $\to \infty$. Pertanto per quanto $T$ sia piccolo, possiamo sempre trovare uno $z$ tale che la densità rimanga costante, e quindi gli stati non fondamentali siano occupati. Non c’è quindi alcuna temperatura critica, e quindi non si verifica condensazione di Bose-Einstein. Tuttavia, introducendo delle interazioni tra le particelle risulterà possibile la condensazione.