In questo articolo vedremo che diversi tipi di equazioni trasferiscono informazione a velocità diverse.
Equazione del calore
Consideriamo il problema di Cauchy per l’equazione del calore:
$$\frac{\partial \theta}{\partial t} = k \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} \,\,\,\,\,\,\,\, \theta(x,0)=f(x)$$
Possiamo risolvere l’equazione usando la trasformata di Fourier e otteniamo:
$$\theta(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4 k t}} f(y) dy$$
Il nucleo che moltiplica $f$ nell’integrale è detto soluzione fondamentale, ed evidenzia le proprietà dell’equazione del calore: in particolare la tendenza a “lisciare” soluzioni discontinue: se ad esempio inizialmente $f(x)=\delta(x)$ l’evoluzione dà una gaussiana che si allarga sempre di più.
Ora supponiamo che $f$ sia confinata in un intervallo ristretto (diciamo $f(x)=0$ per $|x|>a$ per un qualche $a$). Basta qualche semplice requisito su $f$, ad esempio $f> 0$ per assicurarci che $\theta(x,t)\neq 0 \,\, \forall x \forall t$. Cioè: nonostante la funzione iniziale sia non nulla solo in un piccolo intervallo, anche dopo un $t$ infinitesimo l’equazione del calore produrrà una soluzione nonnulla per $x$ arbitrariamente grande. Cioè attraverso l’equazione del calore l’informazione si propaga istantaneamente.
Equazione delle onde
Consideriamo invece il problema di Cauchy per l’equazione delle onde:
$$\frac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} \,\,\,\,\,\,\,\, \theta(x,0)=f(x)$$
Poiché l’equazione delle onde è del second’ordine nel tempo, ci serve un’altra condizione al contorno sulla derivata parziale rispetto a $t$. Scegliamo $\frac{\partial \theta}{\partial t}(x,0)=0$.
Dalla soluzione generale di D’Alembert, sappiamo che:
$$\theta(x,t) = \frac{1}{2} (f(x+ct)+f(x-ct))$$
Ora se come prima $f(x)=0$ per $|x|>a$, allora $\theta(x,t)\neq 0$ solo se $a-ct < x < a + ct$ e quindi l’equazione delle onde propaga l’informazione alla velocità $c$.
Perciò, se $c$ è la velocità della luce, possiamo ad esempio scrivere l’equazione delle onde in modo manifestamente covariante come $\partial^\mu \partial_\mu \theta = 0$. Ciò non sarebbe possibile per l’equazione del calore, perché essa tratta le coordinate spaziali e temporali diversamente.
Tipologie di equazioni differenziali
Ricordiamo che se abbiamo un’equazione alle derivate parziali della forma:
$$a \theta_{xx} + 2b \theta_{xt} + c \theta_{tt} + d \theta_x + e \theta_t + f \theta + g = 0$$
dove, $a, b, \ldots$ sono funzioni di $x$ e $t$, allora essa è:
- iperbolica, se $b^2-ac>0$
- parabolica, se $b^2-ac=0$
- ellittica, se $b^2-ac<0$
In base a questa classificazione, l’equazione del calore ($a = b = 0$) è parabolica, mentre l’equazione delle onde ($b=0$, $ac<0$) è iperbolica. La propagazione istantanea è tipica delle equazioni paraboliche, mentre la propagazione a velocità finita è tipica delle equazioni iperboliche. Le equazioni ellittiche, invece, rappresentano soluzioni statiche per cui non ha senso parlare di velocità di propagazione (es. equazione di Laplace).