In questo articolo vedremo che in $1+1$ dimensioni il tensore di Riemann prende una forma particolarmente semplice.
Siamo in $n=1+1$ dimensioni. Sappiamo che in generale il tensore di Riemann ha le seguenti simmetrie:
$$R_{\alpha \beta \gamma \delta} = R_{\gamma \delta \alpha \beta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R_{\alpha \beta \gamma \delta}=-R_{\beta \alpha \gamma \delta} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R_{\alpha \beta \gamma \delta}=-R_{\alpha \beta \delta \gamma}$$
Possiamo quindi pensarlo come una matrice simmetrica nelle coppie di indici “$\alpha \beta$” e “$\gamma \delta$”. Ogni coppia di indici rappresenta una matrice antisimmetrica $2 \times 2$, che quindi ha un solo elemento indipendente in $2D$. Una matrice simmetrica $n \times n$ ha $n (n+1) /2$ elementi indipendenti, e quindi in due dimensioni il tensore di Riemann ha $1\cdot (1+1) /2 = 1$ elemento indipendente.
Pertanto $R_{\alpha \beta \gamma \delta}$ contiene le stesse informazioni dello scalare di Ricci $R$, che è ottenuto dal tensore di Riemann per contrazione:
$$R = R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta}$$
Quindi in due dimensioni il tensore di Riemann può essere scritto in termini di $R$ e della metrica, e poiché ha quattro indici deve avere la forma generale:
$$R_{\alpha \beta \gamma \delta} = \sum_{\sigma \in S_4} A_\sigma g_{\sigma(\alpha \beta} g_{\gamma \delta)}\tag{*}$$
dove $\sigma$ è una permutazione in $S_4$, il gruppo delle permutazioni su quattro elementi, in questo caso $\alpha, \beta, \gamma, \delta$; gli $A_\sigma$ sono degli scalari e l’indice $\sigma$ indicizza le permutazioni e non è un indice covariante.
Poiché la metrica è simmetrica nei primi due indici, una permutazione è fissata una volta dati i primi due indici, e quindi dobbiamo considerarne solo ${4 \choose 2} = 6$, le seguenti:
$\alpha \beta \gamma \delta$
$\alpha \gamma \beta \delta$
$\alpha \delta \beta \gamma$
$\beta \gamma \alpha \delta$
$\beta \delta \alpha \gamma$
$\gamma \delta \alpha \beta$
Poiché possiamo scambiare le due metriche nel prodotto in $\pqty{*}$, le ultime tre permutazioni possono essere ottenute dalle prime tre, e quindi possiamo scartarle.
Ora, se includessimo la prima permutazione il tensore di Riemann non potrebbe soddisfare i requisiti di antisimmetria enunciati all’inizio (la permutazione infatti darebbe un termine simmetrico allo scambio di $\alpha$ e $\beta$ o $\gamma$ e $\delta$). Rimangono due soli termini possibili:
$$R_{\alpha \beta \gamma \delta} = A_1 g_{\beta \gamma} g_{\alpha \delta}+A_2 g_{\beta \delta} g_{\alpha \gamma}$$
Ma $R_{\alpha \beta \gamma \delta}=-R_{\beta \alpha \gamma \delta}=-R_{\alpha \beta \delta \gamma}$ quindi $A_1 = -A_2$. Contraendo,
$$R = R_{\alpha \beta \gamma \delta} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} = 2 A_1+4 A_2 = 2 A_2$$
Quindi $A_2 = R/2$ e in definitiva:
$$\boxed{R_{\alpha \beta \gamma \delta} = \frac{1}{2} R \pqty{g_{\beta \delta} g_{\alpha \gamma} -g_{\beta \gamma} g_{\alpha \delta}}}$$
Ciò ha delle conseguenze. Infatti il tensore di Ricci è:
$$R_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}R g_{\alpha\beta}$$
Pertanto l’equazione di Einstein assume una forma particolarmente semplice, poiché due termini si cancellano:
$$\Lambda g_{\alpha\beta} = 8\pi T_{\alpha\beta}$$
Quindi in particolare:
- Se $\Lambda=0$ ogni metrica è una soluzione di vuoto, e non ci sono altre soluzioni.
- Se $\Lambda\neq 0$ allora non esistono soluzioni di vuoto (se $T=0$ allora $g=0$, il che non ha senso fisico), e la metrica è sempre proporzionale al tensore energia-impulso.
Inoltre:
- se $\Lambda < 0$ gli unici tensori energia impulso ammessi rispettano necessariamente le condizioni di energia nulla, debole e forte.
- se $\Lambda > 0$ al contrario il tensore energia impulso viola tutte le condizioni di energia, ovvero è ammessa solo materia esotica.