Un’isometria della metrica è una trasformazione di coordinate che lascia la metrica invariata. Se la trasformazione è data da:
xa→ϕa(x)
allora perché ϕa sia un’isometria deve lasciare invariata la metrica:
gαβ=∂ϕγ∂xα∂ϕδ∂xβgγδ
Supponiamo che le funzioni ϕa siano generate da vettori ξa, ovvero:
ϕa(x)=xa+ϵξa+O(ϵ2)
La trasformazione della metrica segue dalla serie di Taylor:
gab(ϕ(x))=gab(x)+ϵξc∂gab(x)∂xc+O(ϵ2)
Pertanto sostituendo nella legge di trasformazione sopra:
gαβ=(δγα+ϵ∂αξγ)(δδβ+ϵ∂βξδ)(gγδ+ϵξλ∂gγδ∂xλ)+O(ϵ2)==gαβ+ϵ(ξλ∂λgαβ+gλβ∂αξλ+gαλ∂βξλ)+O(ϵ2)
Pertanto la parte tra parentesi dev’essere zero:
ξλ∂λgαβ+gλβ∂αξλ+gαλ∂βξλ=0
Le derivate parziali non sono oggetti tensoriali, e vorremmo sostituirle con derivate covarianti. Sostituendo, i simboli di Christoffel si cancellano miracolosamente e otteniamo l’equazione nella versione covariante:
ξλ∇λgαβ+gλβ∇αξλ+gαλ∇βξλ=0
Il primo termine sparisce perché la connessione di Levi Civita è compatibile con la metrica, cioè ∇agbc=0. Otteniamo quindi la cosiddetta equazione di Killing:
∇αξβ+∇βξα=0
Questa equazione può essere vista nella seguente maniera. Per trovare le isometrie di una certa metrica gab risolviamo l’equazione di Killing. I vettori risultanti, detti vettori di Killing, generano le isometrie della metrica gab.
In termini della derivata di Lie
La stessa equazione può essere ottenuta dalla derivata di Lie della metrica:
Lξgαβ=0
e non è difficile verificarlo usando la definizione della derivata di Lie. Dato un vettore ξ che genera una trasformazione ϕ, la derivata di Lie della metrica ci dice come cambia la metrica in base alla trasformazione ϕ. Imponendo che non cambi, otteniamo che per ogni simmetria della metrica c’è un vettore di Killing e viceversa. Talvolta per verificare se un vettore è un vettore di Killing è più utile adoperare questa definizione.
Esempi
Come esempio possiamo trovare tutti i vettori di Killing dello spazio di Minkowski. Partendo dall’identità di Ricci applicata ad un vettore di Killing e usando l’identità di Bianchi otteniamo in generale:
∇α∇βξγ=Rσαβγξσ
Pertanto nello spazio di Minkowski l’equazione di Killing si riduce a:
∂α∂βξγ=0
Integrando:
∂βξγ=Aγβ
per un certo tensore costante A. Per l’equazione di Killing ∂βξγ=−∂γξβ, pertanto A è antisimmetrico. Integrando di nuovo:
ξγ=Aγβxβ+Bγ
B ha quattro componenti indipendenti, mentre A, essendo una matrice antisimmetrica 4×4 ne ha sei. Quindi in totale abbiamo 10 vettori di Killing indipendenti. Questi sono più delle dimensioni dello spazio tempo, ma non deve preoccuparci: in ogni punto non più di quattro possono essere linearmente indipendenti. In particolare, nello spazio di Minkowski, abbiamo 4 traslazioni spaziotemporali, 3 rotazioni e 3 spinte di Lorentz (“boost“).
Vettori di Killing e simmetrie
Con i vettori di Killing possiamo classificare le simmetrie. Se ad esempio abbiamo:
- un vettore di Killing tipo tempo, allora la metrica è stazionaria. Ad esempio nelle coordinate di Schwarzschild, dove (1,0,0,0)=∂∂t è di Killing tipo tempo.
- un vettore di Killing tipo spazio le cui traiettorie sono chiuse, allora la metrica è assialsimmetrica. Per convenzione le traiettorie sono prese di periodo 2π (quest’ultima condizione fissa la normalizzazione del vettore di Killing). Ad esempio nelle coordinate di Schwarzschild o di Kerr, dove (0,0,0,1)=∂∂φ è di Killing tipo spazio, con traiettorie chiuse.
- tre vettori di Killing che formano l’algebra di SO(3) (cioè i cui commutatori soddisfano la stessa algebra del momento angolare), allora lo spaziotempo è sfericamente simmetrico. L’esempio è di nuovo la metrica di Schwarzschild, dove abbiamo i tre vettori R=−y∂x+x∂y=∂ϕS=z∂x−x∂z=cosϕ∂θ−cotθsinϕ∂ϕT=−z∂y+y∂z=−sinϕ∂θ−cotθcosϕ∂ϕi quali soddisfano l’algebra [R,S]=T, [R,T]=−S, [S,T]=R.
In questi casi i vettori di Killing sono particolarmente semplici, e non è un caso: abbiamo scelto le coordinate appositamente per rendere evidenti le simmetrie.