Un’isometria della metrica è una trasformazione di coordinate che lascia la metrica invariata. Se la trasformazione è data da:
$$x^a \to \phi^a(x)$$
allora perché $\phi^a$ sia un’isometria deve lasciare invariata la metrica:
$$g_{\alpha\beta} = \frac{\partial \phi^\gamma}{\partial x^\alpha} \frac{\partial \phi^\delta}{\partial x^\beta} g_{\gamma\delta}$$
Supponiamo che le funzioni $\phi^a$ siano generate da vettori $\xi^a$, ovvero:
$$\phi^a (x) = x^a + \epsilon \,\xi^a +\mathcal{O}(\epsilon^2)$$
La trasformazione della metrica segue dalla serie di Taylor:
$$g_{a b}(\phi(x)) = g_{ab}(x) + \epsilon\, \xi^c \frac{\partial g_{a b}(x)}{\partial x^c} +\mathcal{O}(\epsilon^2)$$
Pertanto sostituendo nella legge di trasformazione sopra:
\begin{align*}
g_{\alpha\beta} &= (\delta_\alpha^\gamma + \epsilon \partial_\alpha \xi^\gamma) (\delta_\beta^\delta +\epsilon \partial_\beta \xi^\delta) \left(g_{\gamma \delta} + \epsilon \xi^\lambda \frac{\partial g_{\gamma \delta}}{\partial x^\lambda}\right) + \mathcal{O}(\epsilon^2)=\\
&= g_{\alpha\beta} + \epsilon \pqty{\xi^\lambda \partial_\lambda g_{\alpha \beta} + g_{\lambda \beta} \partial_\alpha \xi^\lambda + g_{\alpha \lambda} \partial_\beta \xi^\lambda}+\mathcal{O}(\epsilon^2)
\end{align*}
Pertanto la parte tra parentesi dev’essere zero:
$$\xi^\lambda \partial_\lambda g_{\alpha \beta} + g_{\lambda \beta} \partial_\alpha \xi^\lambda + g_{\alpha \lambda} \partial_\beta \xi^\lambda=0$$
Le derivate parziali non sono oggetti tensoriali, e vorremmo sostituirle con derivate covarianti. Sostituendo, i simboli di Christoffel si cancellano miracolosamente e otteniamo l’equazione nella versione covariante:
$$\xi^\lambda \nabla_\lambda g_{\alpha \beta} + g_{\lambda \beta} \nabla_\alpha \xi^\lambda + g_{\alpha \lambda} \nabla_\beta \xi^\lambda=0$$
Il primo termine sparisce perché la connessione di Levi Civita è compatibile con la metrica, cioè $\nabla_a g_{bc}=0$. Otteniamo quindi la cosiddetta equazione di Killing:
$$\boxed{\nabla_\alpha \xi_\beta + \nabla_\beta \xi_\alpha=0}$$
Questa equazione può essere vista nella seguente maniera. Per trovare le isometrie di una certa metrica $g_{ab}$ risolviamo l’equazione di Killing. I vettori risultanti, detti vettori di Killing, generano le isometrie della metrica $g_{ab}$.
In termini della derivata di Lie
La stessa equazione può essere ottenuta dalla derivata di Lie della metrica:
$$\mathcal{L}_\xi g_{\alpha \beta} = 0$$
e non è difficile verificarlo usando la definizione della derivata di Lie. Dato un vettore $\xi$ che genera una trasformazione $\phi$, la derivata di Lie della metrica ci dice come cambia la metrica in base alla trasformazione $\phi$. Imponendo che non cambi, otteniamo che per ogni simmetria della metrica c’è un vettore di Killing e viceversa. Talvolta per verificare se un vettore è un vettore di Killing è più utile adoperare questa definizione.
Esempi
Come esempio possiamo trovare tutti i vettori di Killing dello spazio di Minkowski. Partendo dall’identità di Ricci applicata ad un vettore di Killing e usando l’identità di Bianchi otteniamo in generale:
$$\nabla_\alpha \nabla_\beta \xi_\gamma = R^{\sigma}_{\,\,\alpha \beta \gamma} \xi_\sigma$$
Pertanto nello spazio di Minkowski l’equazione di Killing si riduce a:
$$\partial_\alpha \partial_\beta \xi_\gamma = 0$$
Integrando:
$$\partial_\beta \xi_\gamma = A_{\gamma \beta }$$
per un certo tensore costante $A$. Per l’equazione di Killing $\partial_\beta \xi_\gamma = -\partial_\gamma \xi_\beta$, pertanto $A$ è antisimmetrico. Integrando di nuovo:
$$\xi_\gamma = A_{\gamma \beta} x^\beta + B_\gamma$$
$B$ ha quattro componenti indipendenti, mentre $A$, essendo una matrice antisimmetrica $4\times 4$ ne ha sei. Quindi in totale abbiamo $10$ vettori di Killing indipendenti. Questi sono più delle dimensioni dello spazio tempo, ma non deve preoccuparci: in ogni punto non più di quattro possono essere linearmente indipendenti. In particolare, nello spazio di Minkowski, abbiamo $4$ traslazioni spaziotemporali, $3$ rotazioni e $3$ spinte di Lorentz (“boost“).
Vettori di Killing e simmetrie
Con i vettori di Killing possiamo classificare le simmetrie. Se ad esempio abbiamo:
- un vettore di Killing tipo tempo, allora la metrica è stazionaria. Ad esempio nelle coordinate di Schwarzschild, dove $(1,0,0,0)=\frac{\partial}{\partial t}$ è di Killing tipo tempo.
- un vettore di Killing tipo spazio le cui traiettorie sono chiuse, allora la metrica è assialsimmetrica. Per convenzione le traiettorie sono prese di periodo $2\pi$ (quest’ultima condizione fissa la normalizzazione del vettore di Killing). Ad esempio nelle coordinate di Schwarzschild o di Kerr, dove $(0,0,0,1)=\frac{\partial}{\partial \varphi}$ è di Killing tipo spazio, con traiettorie chiuse.
- tre vettori di Killing che formano l’algebra di $SO(3)$ (cioè i cui commutatori soddisfano la stessa algebra del momento angolare), allora lo spaziotempo è sfericamente simmetrico. L’esempio è di nuovo la metrica di Schwarzschild, dove abbiamo i tre vettori $$R = -y \partial_x +x \partial_y = \partial_\phi\\S = z \partial_x -x \partial_z =\cos{\phi}\partial_\theta-\cot{\theta}\sin{\phi} \partial_\phi\\T = -z \partial_y + y \partial_z =-\sin{\phi}\partial_\theta-\cot{\theta}\cos{\phi} \partial_\phi$$ i quali soddisfano l’algebra $[R,S]=T$, $[R,T] = -S$, $[S,T]=R$.
In questi casi i vettori di Killing sono particolarmente semplici, e non è un caso: abbiamo scelto le coordinate appositamente per rendere evidenti le simmetrie.