Abbiamo già ricavato l’equazione del razzo nel vuoto. Cosa cambia se aggiungiamo un campo gravitazionale costante? Il problema è utile ad esempio per modellare un razzo che parte dalla Terra e raggiunge lo spazio. Infatti, se per spazio intendiamo una distanza dalla superficie della Terra di circa $100 km$, la differenza col campo gravitazionale superficiale è minima:
$$\frac{g(\textrm{superficie}+100 km)}{g(\textrm{superficie})} = \left(1+\frac{100km}{R_{terra}}\right)^{-2} \approx 0,97$$
e quindi possiamo considerare $g$ costante con buona approssimazione. Il vero problema con quest’approccio è che trascuriamo l’attrito dell’aria che in realtà è la problematica principale.
L’unica differenza rispetto all’articolo precedente è che ora abbiamo una forza esterna costante $-mg$. La legge di Newton è:
$$\frac{d}{dt} {\textbf p_{tot}} = {\textbf F_{est}}$$
Non c’è nessuna differenza nel calcolo del membro sinistro, quindi:
$$\frac{d}{dt} p_{tot} = u \frac{dm}{dt}+m \frac{dv}{dt}$$
Il membro destro in questo caso vale $F_{est}=-mg$, quindi l’equazione differenziale è:
$$u \frac{dm}{dt}+m \frac{dv}{dt}=-mg$$
Spostando un po’ cose otteniamo:
$$-u \frac{1}{m}\frac{dm}{dt}-g= \frac{dv}{dt}$$
e quindi integrando:
$$\boxed{\Delta v = u \log{\frac{m_i}{m_f}} – g\Delta t}$$
Ovvero se in un tempo $\Delta t$ bruciamo una massa $\Delta m = m_f-m_i$ allora otterremo un aumento di velocità pari a $\Delta v$. L’effetto è cioè quello di far perdere velocità al razzo. Quanto questo effetto sia rilevante dipende dai valori specifici di $u$ e dell’emissione della massa.
Ad esempio, supponiamo che il razzo parta dalla superficie della terra con velocità zero, ed emetta massa ad un tasso costante $\alpha$, cioè: $m(t)=m_0 -\alpha t$. L’equazione del razzo in questo caso diventa:
$$v(t) = – u \log{\left(1-\frac{\alpha}{m_0} t\right)} -g t$$
L’altezza massima $h_{\mathrm{max}}$ è raggiunta quando tutto il combustibile è stato espulso, cioè quando $t = m_0 / \alpha$. Quindi integrando:
$$\int_0^{h_{\mathrm{max}}} dx = -u \int_0^{m_0 / \alpha} \log{\left(1-\frac{\alpha}{m_0} t\right)}\, dt -\int_0^{m_0 / \alpha} g t\, dt$$
Ovvero risolvendo gli integrali:
$$h_{\mathrm{max}} = \frac{m_0}{\alpha} \left(u -\frac{g m_0}{2 \alpha}\right)$$
In particolare se $u < \frac{g m_0}{2 \alpha}$, abbiamo $h_{\mathrm{max}}<0$, cioè il razzo non riuscirà a partire.