Data un’algebra di Clifford su $\mathbb{R}^n$ con metrica qualsiasi, all’interno dell’algebra troviamo una copia dello stesso $\mathbb{R}^n$ negli elementi di grado $1$, cioè i vettori. L’algebra è uno spazio vettoriale, e i vettori ne formano un sottospazio. Non ne formano tuttavia una sottoalgebra, perché non sono chiusi rispetto al prodotto geometrico: moltiplicando due vettori otteniamo in genere un bivettore.
Dal secondo articolo della serie, sappiamo che le rotazioni nell’algebra di Clifford sono implementate da particolari elementi dell’algebra detti rotori, che agiscono su entrambi i lati del multivettore da ruotare, $x’ = R^\dagger x R$. Il seguente teorema ci dà una caratterizzazione diversa delle rotazioni:
Teorema. (Cartan-Dieudonné) Ogni trasformazione ortogonale su $\mathbb{R}^{s,t}$ è il prodotto di al più $s+t$ riflessioni su iperpiani.
Vedete ad esempio qui per una dimostrazione. Poiché una riflessione ha determinante negativo, ne segue che una rotazione è data in genere dal prodotto di un numero pari di riflessioni su iperpiani. Ne segue che ad esempio ogni rotazione in $3D$ è data dal prodotto di due riflessioni.
Come è rappresentata una riflessione?
Definizione. (Inversione di grado) Sia $x \in \mathcal{G}$ un elemento dell’algebra di Clifford di grado definito $k$. Allora la sua inversione di grado è
$$x^* = (-1)^k x$$
L’inversione di grado è estesa agli elementi di grado misto per linearità.
Definizione. (Azione aggiunta modificata) Sia $\mathcal{G}^\times$ l’insieme degli elementi invertibili dell’algebra di Clifford $\mathcal{G}$. Dato $x \in \mathcal{G}^\times$ l’azione aggiunta modificata di $x$ su $\mathcal{G}$ è
$$\widetilde{\mathrm{Ag}}_x (y) = x^* y x^{-1} $$
La mappa $\mathcal{G}^\times \to \mathrm{Aut}(G)$ data da $x \to \widetilde{\mathrm{Ag}}_x$ è denotata da $\widetilde{\mathrm{Ag}}$.
Possiamo verificare che $\widetilde{\mathrm{Ag}}_x$ preserva la norma tra due vettori. Se $q(v)=v^2$ allora
$$q(\widetilde{\mathrm{Ag}}_x(y)) = x^* y x^{-1} x^* y x^{-1} = x y y x^{-1} = y^2 = q(v)$$
Inoltre su un vettore $v$ invertibile,
$$\widetilde{\mathrm{Ag}}_v(v) = v^* v v^{-1} = -v$$
e per ogni vettore $w$ ortogonale a $w$
$$\widetilde{\mathrm{Ag}}_v(w) = w$$
Per cui $\widetilde{\mathrm{Ag}}_v$ è una riflessione sull’iperpiano ortogonale a $v$.
Se vogliamo studiare le rotazioni in $\mathbb{R}^{s,t}$ usando l’algebra di Clifford, è naturale allora cercare di capire qual è il sottoinsieme dell’algebra che riflette vettori in vettori. È noto come gruppo di Lipschitz:
$$\widetilde \Gamma = \{x \in \mathcal{G}^\times \,\,\,\mathrm{t.c.}\,\,\, \widetilde{\mathrm{Ag}}_x(v) \in \mathbb{R}^{s,t} \,\,\,\forall v \in \mathbb{R}^{s,t}\}$$
dove $\mathbb{R}^{s,t}$ va inteso come il sottospazio isomorfo a $\mathbb{R}^{s+t}$ in $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t})$. Il gruppo di Lipschitz è effettivamente un gruppo con l’operazione data dal prodotto geometrico.
Tra i sottogruppi di $\widetilde \Gamma$ ce n’è uno interessante, il cui nome sarà chiarito in seguito:
$$\mathrm{Pin} = \{a \in \widetilde \Gamma \,\,\, \mathrm{t.c.} \,\,\, a^\dagger a = 1 \,\,\mathrm{o}\,\, -1\}$$
Questi sono essenzialmente gli elementi “ortogonali” che mandano vettori in vettori, cioè gli elementi dell’algebra che mandano vettori in vettori preservandone il modulo.
Tra i sottogruppi di $\mathrm{Pin}$ ce n’è uno particolarmente interessante, cioè
$$\mathrm{Spin} = \mathrm{Pin} \cap \mathcal{G}^+$$
Il motivo per cui consideriamo solo gli elementi di grado pari è che, come abbiamo visto nell’articolo precedente, l’algebra degli elementi pari è invariante rispetto allo scambio dei $\pm 1$ nella segnatura della metrica. Quest’operazione è fisicamente insignificante, e quindi l’algebra che descrive una teoria fisica deve anch’essa essere invariante. Un’altra motivazione è che dal teorema di Cartan-Dieudonné sappiamo che le rotazioni, cioè le rotazioni ortogonali proprie, sono implementate da un numero pari di riflessioni lungo iperpiani.
Concludiamo con un altro sottogruppo (del sottogruppo del sottogruppo) particolarmente interessante. Questo è il gruppo più propriamente delle rotazioni, per cui vogliamo:
$$\mathrm{Spin}^+ = \{a \in \mathrm{Spin} \,\,\, \mathrm{t.c.} \,\,\, a^\dagger a = 1\}$$
Il significato di questi gruppi è illustrato dalla proposizione successiva. Denotiamo con $\mathrm{Pin}(s,t)$ il gruppo $\mathrm{Pin}$ in $\mathbb{R}^{s+t}$ con metrica di segnatura $(s,t)$. Usiamo la notazione corrispondente per gli altri gruppi. Allora:
Proposizione. Esistono omomorfismi continui e suriettivi con nucleo $\{\pm 1\}$:
$$\mathrm{Pin}(s,t) \to O(s,t)\\
\mathrm{Spin}(s,t) \to SO(s,t)\\
\mathrm{Spin}^+(s,t) \to SO^+(s,t)$$
dove $SO^+$ è il componente di $SO$ connesso all’identità. Gli isomorfismi espliciti richiedono troppi macchinari matematici e non saranno esposti qui. Questo spiega il nome $\mathrm{Pin}$. La dimostrazione è fornita in uno dei prossimi articoli.
Poiché il nucleo dell’omomorfismo è $\mathbb{Z}_2$, i gruppi a sinistra sono rivestimenti doppi dei gruppi a destra. Questa è la connessione tra i gruppi definiti sopra e i gruppi delle rotazioni generalizzate nello spazio(tempo).
Ad esempio:
- $\mathrm{Pin}(1,0) =\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ e $\mathrm{Spin}^+(1,0) =\mathbb{Z}_2$
- $\mathrm{Pin}(0,1) =\mathbb{Z}_4$ e $\mathrm{Spin}^+(0,1) =\mathbb{Z}_2$
- $\mathrm{Spin}^+(3,0) = SU(2)$, cioè il gruppo delle rotazioni in 3 dimensioni, che è lo spazio della meccanica quantistica, è $SU(2)$.
Un caso di particolare interesse è quello della metrica di Minkowski. In questo caso $O(1,3)$ è il gruppo di Lorentz, cioè il gruppo delle trasformazioni che preservano la metrica di Minkowski, e $\mathrm{Pin}(1,3)$ è il suo rivestimento doppio. È noto che il gruppo di Lorentz ha quattro componenti connessi. Il gruppo $\mathrm{Spin}(1,3)$ corrisponde al gruppo $\mathrm{Pin}(1,3)$ senza le due componenti che invertono spazio e tempo rispettivamente. Il gruppo $\mathrm{Spin}^+(1,3)$ è quello di interesse fisico, cioè il (rivestimento universale del) cosiddetto gruppo di Lorentz proprio ortocrono.
Un risultato utile, la cui dimostrazione omettiamo, è il seguente. Per metriche euclidee o lorentziane, cioè $(s,t)=(n,0)$ o viceversa, oppure $(s,t)=(1,n)$ o viceversa, i gruppi $\mathrm{Spin}^+(s,t)$ sono semplicemente connessi, purché $n \geq 3$. In questo caso essi costituiscono quindi il rivestimento universale di $SO^+(s,t)$.
Il gruppo $\mathrm{Spin}^+$, visto come sottoinsieme dell’algebra di Clifford, è “in pratica” il gruppo dei rotori, ed è naturalmente identificabile con lo spazio degli spinori. Infatti essendo un gruppo, la legge di composizione di due rotori è da un lato solo, invece che da due lati: dato un rotore $R$ e un’altro rotore $e^{\theta ab/2}$ che genera una rotazione di $\theta$ nel piano $ab$, il rotore ruotato è dato da
$$R \to e^{\theta ab/2} R$$
perché i rotori formano un gruppo, mentre per un vettore
$$x \to e^{\theta ab/2} x e^{-\theta ab/2}$$
In termini più precisi, all’interno dell’algebra i rotori sono ruotati come ogni altro elemento usando la formula da entrambi i lati; poiché però non hanno un’interpretazione geometrica chiara (non sono rette, piani, iperpiani, ecc.) possiamo anche considerarli come un gruppo a sé, e ad esempio studiarne le rappresentazioni: in questo caso la “rotazione” è naturalmente da un lato solo.
Le strane proprietà degli spinori qui emergono naturalmente: dato il fattore di $1/2$ nel rotore, gli spinori sono quegli elementi su cui la rotazione agisce da un lato solo, facendola apparire come una rotazione di metà angolo. Ruotandoli di $2\pi$ acquisiscono un segno meno, e ci vogliono $4\pi$ perché tornino sé stessi.
Nel prossimo articolo della serie vediamo la definizione rigorosa di algebra di Clifford.