Finora abbiamo parlato di algebre di Clifford e del modo in cui semplificano il calcolo di rotazioni in dimensione arbitraria. Abbiamo detto che nell’algebra di Clifford è definito un prodotto geometrico. Tra due vettori, il prodotto è dato da:
$$ab = a\cdot b + a\wedge b$$
Abbiamo assunto che il prodotto scalare sia dato da una metrica euclidea, cioè
$$a\cdot b = a_i b_i = a_i \delta_{ij} b_j$$
Questa è una restrizione non necessaria. Ad esempio in relatività ristretta ci interessa la metrica di Minkowski, non-euclidea. Più in generale, data una qualsiasi matrice simmetrica $Q_{ij}$, possiamo definire un prodotto scalare
$$a\cdot b = a_i Q_{ij} b_j$$
Dato questo prodotto scalare, possiamo definire il corrispondente prodotto geometrico come al solito. Il requisito che $Q$ sia simmetrica serve ad assicurare la simmetria del prodotto scalare: $a\cdot b = b \cdot a$.
Di particolare interesse è il caso in cui $Q$ sia diagonale, con autovalori $\pm 1$. Poiché la matrice $Q$ è reale e simmetrica può sempre essere diagonalizzata. Scalando gli elementi possiamo ridurla ad una matrice con elementi diagonali uguali a $+1, 0$ o $-1$. Supponiamo non abbia alcuno $0$ (cioè non è “degenere”). Allora per un teorema di algebra lineare, il numero di $+1$ e $-1$ della metrica ottenuta in questo modo è indipendente dalle matrici che usiamo per diagonalizzarla, e quindi possiamo chiamare la coppia $(s,t)$ del numero rispettivamente di $+1$ e $-1$ della matrice $Q$ la “segnatura” della metrica definita da $Q$.
Se la metrica ha tutti $+1$ diciamo che è euclidea. Se ha un solo $-1$ è lorentziana. Al contrario se ha tutti $-1$ è antieuclidea, e se ha un solo $+1$ è antilorentziana. Chiamiamo $\mathbb{R}^{s,t}$ lo spazio $\mathbb{R}^{s+t}$ con metrica di segnatura $(s,t)$, e chiamiamo $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t})$ la corrispondente algebra di Clifford.
Bisogna notare un fatto importante. Al contrario di quanto si potrebbe credere, $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t})\ncong \mathcal{G}(\mathbb{R}^{s,t})$, com’è mostrato dagli esempi sotto. È tuttavia vero che $\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t})\cong \mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{s,t})$, come dimostreremo più avanti. Poiché fisicamente non c’è differenza tra le due scelte di segnatura, l’algebra di Clifford rilevante in fisica è $\mathcal{G}^+$, fatto che useremo più avanti.
Adesso esaminiamo diversi esempi di algebre che derivano da scelte diverse di metrica.
Algebra di Grassmann
L’algebra di Grassmann orrisponde alla scelta $Q=0$. Quindi il prodotto tra due vettori si riduce al prodotto esterno:
$$ab = a \wedge b$$
Il prodotto di due vettori è antisimmetrico. È un’algebra che trova molte applicazioni: si usa ad esempio per le variabili fermioniche negli integrali sui cammini ed è anche l’algebra delle forme differenziali. Dato che è trattata in quei contesti, non la trattiamo qui.
Algebra (anti)euclidea in una e due dimensioni
Consideriamo prima l’algebra $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,1})$. La dimensione è $2^1=2$ e una base è:
$$\{1, e_1\}$$
dove $e_1$ è sia l’unico vettore che lo pseudoscalare. Poiché la metrica è in una dimensione e ha un segno negativo, $e_1 \cdot e_1 = -1$ e quindi $(e_1)^2 = -1$. Pertanto $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,1})\cong \mathbb{C}$, e anche se non è molto interessante, $\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{0,1}) \cong \mathbb{R}$.
Al contrario, l’algebra $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,0})$ ha la stessa base, ma metrica euclidea, per cui $e_1 \cdot e_1 = 1$ e quindi non è isomorfa ai numeri complessi. L’algebra degli elementi di grado pari è di nuovo composta solo degli scalari ed è quindi isomorfa a $\mathbb{R}$.
L’algebra $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,2})$ ha dimensione $2^2=4$ e base:
$$\{1, e_1, e_2, e_1 e_2\}$$
I vettori ortonormali $e_1$ e $e_2$ hanno di nuovo quadrato $-1$ dovuto alla metrica antieuclidea, e allo stesso modo lo pseudoscalare ha quadrato $-1$. Per cui chiamando $i = e_1$, $j = e_2$ e $k = ij = e_1 e_2$, l’algebra ha le relazioni:
$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$
cioè è isomorfa ai quaternioni, $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{0,2})\cong \mathbb{H}$. L’algebra degli elementi pari contiene solo scalari e pseudoscalari, quindi $\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{0,2})\cong\mathbb{C}$.
L’algebra $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{2,0})$, cioè l’algebra euclidea su $\mathbb{R}^2$ è stata già studiata nell’articolo precedente.
Algebra lorentziana bidimensionale
L’algebra lorentziana bidimensionale è l’algebra $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,1})$. Ha dimensione $2^2 = 4$, con la base standard:
$$\{1, e_1, e_2, e_1 e_2\}$$
La parte interessante di quest’algebra è che esistono vettori non nulli che hanno quadrato nullo. Ad esempio:
$$(e_1 + e_2)^2 = e_1^2 + e_1 \cdot e_2 + e_2^2 = 1 + 0 -1 = 0$$
Quindi in particolare $e_1 + e_2$ è un elemento dell’algebra che non ammette inversa. Ciò è possibile in algebre a segnatura mista, per cui dobbiamo stare attenti nelle definizioni. In un algebra euclidea o antieuclidea tutti i vettori sono invertibili, però potremmo avere degli altri elementi non invertibili.
L’algebra dello spaziotempo
Di particolare interesse è l’algebra dello spaziotempo $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,3})$, cioè l’algebra su uno spaziotempo quadridimensionale e metrica di segnatura $(+,-,-,-)$.
In $\mathbb{R}^{1,3}$ scegliamo una base di vettori ortonormali $\gamma_\mu$ dove $\mu = 0,1,2,3$. Il fatto che siano ortonormali in questa metrica significa che:
$$\gamma_\mu \cdot \gamma_\nu = \eta_{\mu\nu}$$
ovvero $(\gamma_0)^2=1$ e $(\gamma_i)^2=-1$, data la nostra scelta di segnatura. Esprimendo il prodotto scalare in termini di prodotto geometrico, otteniamo la caratterizzazione equivalente:
$$\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\nu = 2\eta_{\mu\nu}$$
che è la definizione “tipica” di algebra di Clifford usata in teoria dei campi. Bisogna enfatizzare che nonostante nell’uso standard i simboli $\gamma$ denotano le matrici cosiddette di Dirac, in questo contesto i simboli denotano elementi astratti dell’algebra di Clifford. Le matrici di Dirac sono solo una rappresentazione specifica di quest’algebra.
Lo spazio ha dimensione $2^4=16$, e ha uno scalare, quattro vettori, sei bivettori, quattro trivettori e uno pseudoscalare $I = \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3$. Una base è quindi data da:
$$\{1,\,\, \gamma_\mu,\,\, \gamma_i \gamma_0, \gamma_i \gamma_0 I, \,\, \gamma_\mu I,\,\, I\}$$
Poiché lo spazio ha dimensione pari, lo pseudoscalare non commuta con tutti gli elementi (solo con quelli di grado pari). Possiamo notare che $\mathcal{G}^+(\mathbb{R}^{1,3})\cong \mathcal{G}(\mathbb{R}^{3,0})$.
Per studiare le rappresentazioni dell’algebra di Clifford, è spesso utile considerarne la complessificazione $\mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,3}) \otimes \mathbb{C}$. Dalla classificazione generale delle algebre di Clifford segue che:
$$\mathcal{G}(\mathbb{R}^{1,3}) \otimes \mathbb{C} \cong \mathcal{G}(\mathbb{C}^{1,3}) \cong \mathcal{G}(\mathbb{C}^4)$$
L’algebra su $\mathbb{C}^4$ è detta algebra di Dirac, ed è rappresentata naturalmente da matrici complesse $4 \times 4$.
Nel prossimo articolo parleremo dei gruppi insiti nell’algebra di Clifford, e di come gli spinori ne emergano naturalmente.