Sappiamo tutti che
$$\sum_{n=1}^N n = 1+2+\cdots + N = \frac{N(N+1)}{2}$$
La dimostrazione è facile, ad esempio per induzione. Se invece chiedessi quanto fa
$$\sum_{n=1}^N n^2$$
cosa rispondereste? Una volta indovinata una formula, è facile dimostrarla per induzione. Ma come ottenerla?
Partendo dalla formula di Eulero-Maclaurin, abbiamo ottenuto la cosiddetta formula di Faulhabers:
$$\sum_{n=1}^N n^r = \frac{1}{r+1}\sum_{j=0}^r (-1)^j {r+1 \choose j} B_j N^{r+1-j}$$
dove i $B_j$ sono i numeri di Bernoulli, con numero iniziale $B_1 = -1/2$. Divertente, eppure impossibile da ricordare.
Invece facciamo una cosa “zozza”, cioè “deriviamo” la serie, e otteniamo una che sappiamo calcolare:
$$\frac{d}{dN} \sum_{n=1}^N n^2 = \sum_{n=1}^N \frac{d}{dn} (n^2) =2\sum_{n=1}^N n = N(N+1) = N^2+N$$
Ora non ci soffermiamo su cosa significhi calcolare le derivate a quel modo, ma mi pare che il procedimento risulti intuitivo. Adesso? Beh ovviamente integriamo:
$$\int_0^N N^2 +N \,\, dN =\frac{1}{3} N^3 + \frac{1}{2} N^2$$
che è quasi la formula giusta: manca solo il termine finale, $N/6$.
Il procedimento funziona per tutte le somme del tipo $\sum n^r$:
- “Deriviamo” la serie, sostituiamo la formula per $\sum_1^N n^{r-1}$
- Integriamo il risultato rispetto a $N$
- Aggiungiamo un termine $CN$
- La costante $C$ può essere determinata facilmente perché per $N=1$ la somma fa sempre 1
La procedura è molto semplice da ricordare.
Come dimostriamo che vale sempre? Utilizzando la Formula di Faulhaber. Definiamo per semplicità:
$$S(N;r) = \sum_{n=1}^N n^r$$
Allora dobbiamo dimostrare che:
$$S(N;r) = CN + r \int_0^N S(N;r-1)\,dN$$
Procediamo al calcolo dell’integrale sostituendo Faulhaber:
\begin{align*}
r\int_0^N S(N;r-1)\,dN &=r\int_0^N \frac{1}{r}\sum_{j=0}^{r-1} (-1)^j {r \choose j} B_j N^{r-j}\,dN =\\
&=\sum_{j=0}^{r-1} (-1)^j {r \choose j} B_j \frac{1}{r+1-j} N^{r+1-j}=\\
&=\frac{1}{r+1}\sum_{j=0}^{r-1} (-1)^j {r+1 \choose j} B_j N^{r+1-j}=\\
&=S(N;r) – \frac{1}{r+1} (-1)^r {r+1 \choose r} B_r N =\\
&=S(N;r) -(-1)^r B_r N
\end{align*}
Ovvero:
$$S(N;r) = (-1)^r B_r N + r \int_0^N S(N;r-1)\,dN$$
che è anche più precisa di sopra, perché ci dice il valore della costante. Ma dato che non è possibile ricordarsi tutti i numeri di Bernoulli, è bene procedere come sopra: “derivare” la serie di partenza, esplicitare la formula già nota per la serie di ordine inferiore, integrarla rispetto a $N$, aggiungere un termine $CN$, e trovare la costante imponendo che $S(1;r)=1$.
Come esempio, calcoliamo le somme per i primi $r$.
Per $r=0$,
$$\sum_{n=1}^N n^r=\sum_{n=1}^N 1 = N$$
Per $r=1$, abbiamo
$$\frac{d}{dN} \sum_{n=1}^N n = \sum_{n=1}^N 1 = N$$
Integrando, troviamo
$$\sum_{n=1}^N n = \frac{1}{2} N^2 + CN$$
Sostituendo $N=1$ abbiamo $1/2 + C = 1$, cioè $C=1/2$, ovvero
$$\sum_{n=1}^N n = \frac{1}{2} N(N + 1)$$
Per $r=2$, abbiamo
$$\frac{d}{dN} \sum_{n=1}^N n^2 = 2\sum_{n=1}^N n = N^2+N$$
Integrando, troviamo
$$\sum_{n=1}^N n^2 = \frac{1}{3} N^3+\frac{1}{2} N^2 + CN$$
Sostituendo $N=1$ abbiamo $1/3+1/2 + C = 1$, cioè $C=1/6$, ovvero
$$\sum_{n=1}^N n^2 = \frac{1}{3} N^3+\frac{1}{2} N^2 + \frac{1}{6}N$$
Per $r=3$, abbiamo
$$\frac{d}{dN} \sum_{n=1}^N n^3 = 3\sum_{n=1}^N n^2 = N^3+\frac{3}{2} N^2 + \frac{1}{2}N$$
Integrando, troviamo
$$\sum_{n=1}^N n^3 = \frac{1}{4}N^4+\frac{1}{2} N^3 + \frac{1}{4}N^2 + CN$$
Sostituendo $N=1$ abbiamo $1/4+1/2 + 1/4 + C = 1$, cioè $C=0$, ovvero
$$\sum_{n=1}^N n^3 = \frac{1}{4}N^4+\frac{1}{2} N^3 + \frac{1}{4}N^2$$
Per $r=4$, abbiamo
$$\frac{d}{dN} \sum_{n=1}^N n^4 = 4\sum_{n=1}^N n^3 = N^4+2 N^3 + N^2$$
Integrando, troviamo
$$\sum_{n=1}^N n^4 = \frac{1}{5}N^5+\frac{1}{2} N^4 + \frac{1}{3}N^3 + CN$$
Sostituendo $N=1$ abbiamo $1/5+1/2 + 1/3 + C = 1$, cioè $C=-1/30$, ovvero
$$\sum_{n=1}^N n^4 = \frac{1}{5}N^5+\frac{1}{2} N^4 + \frac{1}{3}N^3 – \frac{1}{30}N$$
In linea di principio possiamo calcolarle per $r$ qualsiasi.
Alcune riflessioni interessanti le trovate qui.