In meccanica quantistica possiamo definire una densità di probabilità $\rho = |\psi|^2$ e una “corrente” di probabilità
$$j = \frac{\hbar}{2 m i}\left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}-\psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right)$$
In base a ciò possiamo esprimere un risultato di grande importanza, la conservazione della probabilità:
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$$
Uno degli assunti dietro la dimostrazione di questo risultato è che il potenziale sia reale. Che succede se prendiamo genericamente $V\in \mathbb{C}$? Possiamo ripetere la derivazione del risultato di cui sopra. L’equazione di Schrodinger è:
$$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V\psi$$
Derivando la densità di probabilità otteniamo:
\begin{align*}
\frac{\partial \rho}{\partial t} &= \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} +\psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}=\\
&=\psi^* \frac{1}{i \hbar} \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V\psi\right) -\psi \frac{1}{i \hbar} \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} + V^* \psi^*\right)=\\
&=-\frac{\hbar}{2 m i} \frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}-\psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right) + \frac{1}{i \hbar} \psi \psi^* (V-V^*)=\\
&=-\frac{\partial j}{\partial x} +\frac{2}{\hbar} \rho \operatorname{Im}(V)
\end{align*}
Ovvero abbiamo un termine ulteriore nella legge di conservazione della probabilità, che diventa
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = \frac{2}{\hbar} \rho \operatorname{Im}(V)$$
Integrando su tutto $\mathbb{R}^3$ abbiamo quindi:
$$\frac{d}{dt} \int \rho(x,t) dx + j(+\infty, t)-j(-\infty, t)=\frac{2}{\hbar} \int \rho(x,t) \operatorname{Im}(V) dx$$
Possiamo supporre che $j\to 0$ per $|x| \to \infty$ (basta ad esempio che $\psi \to 0$ e $\psi’$ sia limitata, tutte cose molto standard in meccanica quantistica), per cui ci rimane un’equazione con $\rho$ e $V$. Com’è tipico in questi casi espandiamo $\rho$ per $t$ piccolo, cioè scriviamo $\rho(x,t)=\rho_0+t\rho_1+\mathcal{O}(t^2)$ dove $\rho_1 = \frac{\partial \rho}{\partial t}(x,0)$. Allora sostituendo nel risultato appena ottenuto abbiamo:
$$\int \rho_1(x) dx = \frac{2}{\hbar} \int \rho_0(x,t) \operatorname{Im}(V) dx+\mathcal{O}(t)$$
Pertanto:
$$\int \rho(x,t) dx = 1+t\int \rho_1(x,t) dx +\mathcal{O}(t^2) =1+\frac{2 t}{\hbar} \int \rho_0(x,t) \operatorname{Im}(V) dx+\mathcal{O}(t^2)$$
Il primo termine è pari ad $1$ perché possiamo supporre che la funzione d’onda iniziale sia normalizzata.
Ora, poiché $\rho$ è una densità, $\rho_0 \geq 0$. Pertanto il segno dell’integrale dipende solo dal segno della parte immaginaria di $V$. In particolare, se:
- $\operatorname{Im}(V)>0$ allora la somma delle probabilità al tempo $t$ è maggiore di $1$ e il potenziale non può avere un significato fisico.
- $\operatorname{Im}(V)<0$ allora la somma delle probabilità al tempo $t$ è minore di $1$. Cioè il sistema perde informazione. Ad esempio, per un elettrone in una scatola, dopo un po’ l’elettrone potrebbe non essere da nessuna parte. Anche questo non ha granché significato fisico.
Mentre il primo caso è del tutto assurdo, il secondo caso può avere applicazioni, ad esempio nel caso della dissipazione termica. Ovvero se descriviamo solo una parte di un sistema più grande, è possibile che la densità di probabilità sia in totale inferiore ad $1$ perché la particella può trovarsi nella parte del sistema che non stiamo descrivendo.