Un’identità che torna spesso utile in matematica e fisica è la seguente:
\[\det{(e^A)}=e^{\mathrm{tr}(A)}\]
Il modo più semplice per dimostrarla passa per una formula che abbiamo dimostrato qualche tempo fa:
$$\frac{d\det{M}}{dx} = \det{(M)}\mathrm{tr}\left(M^{-1}\frac{dM}{dx}\right)$$
Poniamo $M(x) = \exp{(x A)}$. Applicando il teorema sopra abbiamo:
$$\frac{d}{dx} \det{(e^{x A})} = \det{(e^{x A})} \mathrm{tr}\left(e^{- x A} \frac{d e^{x A}}{dx}\right)$$
$$\frac{1}{\det{(e^{x A})}} \frac{d}{dx} \det{(e^{x A})} = \mathrm{tr}(e^{- x A} e^{x A} A)$$
$$\frac{d}{dx}\log{\det{(e^{x A})}} = \mathrm{tr}(A)$$
Quest’ultima equazione differenziale può essere risolta facilmente, ottenendo:
$$\det{(e^{x A})} =C \exp{\mathrm{tr}(x A)}$$
Mettendo $x=0$ otteniamo $C=1$. Mettendo $x=1$ otteniamo il risultato voluto:
$$\det{(e^A)}=e^{\mathrm{tr}(A)}$$
Una dimostrazione più semplice
Una dimostrazione più semplice ancora è la seguente. Data $A$, possiamo calcolarne gli autovalori, che chiamiamo $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$. Allora gli autovalori di $e^A$ saranno $e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2}, \ldots, e^{\lambda_n}$. Segue quindi che
\begin{align*}
\det{e^A} &= e^{\lambda_1} e^{\lambda_2} \cdots e^{\lambda_n}=\\
&=e^{\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n}=\\
&=e^{\tr{A}}
\end{align*}
Questa cosa degli autovalori è anche utile per ricordarsi la formula stessa.