Elettromagnetismo relativistico: potenziali ritardati

Nell’introduzione all’elettromagnetismo relativistico abbiamo ottenuto le equazioni di Maxwell in forma covariante:

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 J^\nu\\ F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_\nu -\partial_\nu A_\mu$$

Non abbiamo però affrontato il problema della soluzione di tali equazioni. Ovvero, date le sorgenti ($J$), come ottengo i campi (cioè $A$, e quindi $F$)?

Per prima cosa riscriviamo l’equazione in termini di $A^\mu$, cioè sostituiamo la seconda nella prima equazione. Otteniamo:

$$\partial_\mu \partial^{\mu} A^\nu -\partial^\nu \partial_\mu A^\mu = -\mu_0 J^\nu\tag{*}$$

A questo punto notiamo che $A$ non è unico. Se rimpiazziamo

$$A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \chi$$

allora $F$ rimane invariato. In termini fisici, $A$ è solo un artificio matematico per ottenere i campi, cioè $F$, e non ha significato fisico di per sé.

Possiamo usare questa libertà (detta invarianza di gauge, o di calibro) per semplificare l’equazione di cui sopra. Supponiamo di avere un certo $A$. Vogliamo trovare un $A’$ che soddisfi la cosiddetta condizione di Lorentz:

$$\partial_\mu A’^\mu = 0$$

In tal modo il secondo termine in $\pqty{*}$ se ne va, e possiamo poi procedere a risolverla con metodi soliti. Possiamo sempre trovare un $\chi$ tale che dato $A$ qualsiasi, $A’$ soddisfa la condizione di Lorentz? Abbiamo:

$$A’^\mu = A^\mu +\partial^\mu \chi$$

Derivando da entrambe le parti e applicando la condizione di Lorentz ad $A’$:

$$\partial_\mu \partial^\mu \chi = -\partial_\mu A^\mu$$

Cioè $\chi$ soddisfa l’equazione di Poisson, che ammette sempre una soluzione in termini di funzione di Green; quindi possiamo ottenere la $\chi$ che cerchiamo, e pertanto possiamo supporre impunemente $\partial_\mu A^\mu = 0$.

Ritornando all’equazione $\pqty{*}$, con la semplificazione è diventata:

$$\partial_\mu \partial^{\mu} A^\nu = -\mu_0 J^\nu\tag{**}$$

Per risolvere quest’equazione prendiamo la trasformata di Fourier. Esplicitiamo prima di tutto $\partial_\mu\partial^\mu$:

$$\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} + \nabla^2 \right) A^\nu = -\mu_0 J^\nu$$

Scriviamo $A$ in termini della sua trasformata di Fourier in $t$:

$$A^\nu (t, {\textbf x})= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int e^{i \omega t} \tilde{A}^\nu (\omega, {\textbf x})$$

Sostituendo:

$$\left(\nabla^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\right) \tilde{A}^\nu = -\mu_0 \tilde{J}^\nu$$

Questa è l’equazione di Helmholtz, a cui abbiamo dedicato un altro articolo. La funzione di Green per quest’equazione è:

$$G({\textbf x}; {\textbf y}) = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{-i\omega|{\textbf x}-{\textbf y}|/c}}{|{\textbf x}-{\textbf y}|}$$

La soluzione dell’equazione trasformata è quindi:

$$\tilde{A}^\nu (\omega, {\textbf x})= -\mu_0 \int d^3 {\textbf y} \,G({\textbf x}; {\textbf y}) \tilde{J}^\nu (\omega, {\textbf y})$$

Invertendo la trasformata di Fourier otteniamo:

$$A^\nu (t, {\textbf x})= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int d\omega\int d^3 {\textbf y} \frac{e^{i\omega(t-|{\textbf x}-{\textbf y}|/c)}}{|{\textbf x}-{\textbf y}|} \tilde{J}^\nu (\omega, {\textbf y})$$

Svolgendo prima l’integrale in $\omega$, otteniamo automaticamente l’inversione della trasformata di $J$ al “tempo ritardato” $t_{rit} = t-|{\textbf x}-{\textbf y}|/c$:

$$A^\nu = \frac{\mu_0}{4\pi} \int d^3 {\textbf y} \frac{J^\nu (t_{rit}, {\textbf y})}{|{\textbf x}-{\textbf y}|}$$

L’effetto del termine $t_{rit}$ è quello di ritardare la propagazione in modo tale che i segnali viaggino con velocità $c$, coerentemente con i principi della relatività ristretta. Nell’elettromagnetismo classico (es. legge di Coulomb) i segnali viaggiano invece istantaneamente.

Notiamo che abbiamo scelto una specifica funzione di Green per l’equazione di Helmholtz, come avevamo già specificato nell’articolo a essa dedicato. Se avessimo scelto l’altra soluzione, quella col termine positivo nell’esponenziale, allora avremmo ottenuto al posto del termpo ritardato un “tempo avanzato” $t_{ava} = t+|{\textbf x}-{\textbf y}|/c$ che non rispetta la causalità.