Elettromagnetismo relativistico: potenziali ritardati

Nell’introduzione all’elettromagnetismo relativistico abbiamo ottenuto le equazioni di Maxwell in forma covariante:

μFμν=μ0JνFμν=μAννAμ

Non abbiamo però affrontato il problema della soluzione di tali equazioni. Ovvero, date le sorgenti (J), come ottengo i campi (cioè A, e quindi F)?

Per prima cosa riscriviamo l’equazione in termini di Aμ, cioè sostituiamo la seconda nella prima equazione. Otteniamo:

μμAννμAμ=μ0Jν

A questo punto notiamo che A non è unico. Se rimpiazziamo

AμAμ+μχ

allora F rimane invariato. In termini fisici, A è solo un artificio matematico per ottenere i campi, cioè F, e non ha significato fisico di per sé.

Possiamo usare questa libertà (detta invarianza di gauge, o di calibro) per semplificare l’equazione di cui sopra. Supponiamo di avere un certo A. Vogliamo trovare un A che soddisfi la cosiddetta condizione di Lorentz:

μAμ=0

In tal modo il secondo termine in () se ne va, e possiamo poi procedere a risolverla con metodi soliti. Possiamo sempre trovare un χ tale che dato A qualsiasi, A soddisfa la condizione di Lorentz? Abbiamo:

Aμ=Aμ+μχ

Derivando da entrambe le parti e applicando la condizione di Lorentz ad A:

μμχ=μAμ

Cioè χ soddisfa l’equazione di Poisson, che ammette sempre una soluzione in termini di funzione di Green; quindi possiamo ottenere la χ che cerchiamo, e pertanto possiamo supporre impunemente μAμ=0.

Ritornando all’equazione (), con la semplificazione è diventata:

μμAν=μ0Jν

Per risolvere quest’equazione prendiamo la trasformata di Fourier. Esplicitiamo prima di tutto μμ:

(1c22t2+2)Aν=μ0Jν

Scriviamo A in termini della sua trasformata di Fourier in t:

Aν(t,x)=12πeiωt˜Aν(ω,x)

Sostituendo:

(2+ω2c2)˜Aν=μ0˜Jν

Questa è l’equazione di Helmholtz, a cui abbiamo dedicato un altro articolo. La funzione di Green per quest’equazione è:

G(x;y)=14πeiω|xy|/c|xy|

La soluzione dell’equazione trasformata è quindi:

˜Aν(ω,x)=μ0d3yG(x;y)˜Jν(ω,y)

Invertendo la trasformata di Fourier otteniamo:

Aν(t,x)=μ04π12πdωd3yeiω(t|xy|/c)|xy|˜Jν(ω,y)

Svolgendo prima l’integrale in ω, otteniamo automaticamente l’inversione della trasformata di J al “tempo ritardato” trit=t|xy|/c:

Aν=μ04πd3yJν(trit,y)|xy|

L’effetto del termine trit è quello di ritardare la propagazione in modo tale che i segnali viaggino con velocità c, coerentemente con i principi della relatività ristretta. Nell’elettromagnetismo classico (es. legge di Coulomb) i segnali viaggiano invece istantaneamente.

Notiamo che abbiamo scelto una specifica funzione di Green per l’equazione di Helmholtz, come avevamo già specificato nell’articolo a essa dedicato. Se avessimo scelto l’altra soluzione, quella col termine positivo nell’esponenziale, allora avremmo ottenuto al posto del termpo ritardato un “tempo avanzato” tava=t+|xy|/c che non rispetta la causalità.

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