Nell’introduzione all’elettromagnetismo relativistico abbiamo ottenuto le equazioni di Maxwell in forma covariante:
∂μFμν=−μ0JνFμν=∂μAν−∂νAμ
Non abbiamo però affrontato il problema della soluzione di tali equazioni. Ovvero, date le sorgenti (J), come ottengo i campi (cioè A, e quindi F)?
Per prima cosa riscriviamo l’equazione in termini di Aμ, cioè sostituiamo la seconda nella prima equazione. Otteniamo:
∂μ∂μAν−∂ν∂μAμ=−μ0Jν
A questo punto notiamo che A non è unico. Se rimpiazziamo
Aμ→Aμ+∂μχ
allora F rimane invariato. In termini fisici, A è solo un artificio matematico per ottenere i campi, cioè F, e non ha significato fisico di per sé.
Possiamo usare questa libertà (detta invarianza di gauge, o di calibro) per semplificare l’equazione di cui sopra. Supponiamo di avere un certo A. Vogliamo trovare un A′ che soddisfi la cosiddetta condizione di Lorentz:
∂μA′μ=0
In tal modo il secondo termine in (∗) se ne va, e possiamo poi procedere a risolverla con metodi soliti. Possiamo sempre trovare un χ tale che dato A qualsiasi, A′ soddisfa la condizione di Lorentz? Abbiamo:
A′μ=Aμ+∂μχ
Derivando da entrambe le parti e applicando la condizione di Lorentz ad A′:
∂μ∂μχ=−∂μAμ
Cioè χ soddisfa l’equazione di Poisson, che ammette sempre una soluzione in termini di funzione di Green; quindi possiamo ottenere la χ che cerchiamo, e pertanto possiamo supporre impunemente ∂μAμ=0.
Ritornando all’equazione (∗), con la semplificazione è diventata:
∂μ∂μAν=−μ0Jν
Per risolvere quest’equazione prendiamo la trasformata di Fourier. Esplicitiamo prima di tutto ∂μ∂μ:
(−1c2∂2∂t2+∇2)Aν=−μ0Jν
Scriviamo A in termini della sua trasformata di Fourier in t:
Aν(t,x)=1√2π∫eiωt˜Aν(ω,x)
Sostituendo:
(∇2+ω2c2)˜Aν=−μ0˜Jν
Questa è l’equazione di Helmholtz, a cui abbiamo dedicato un altro articolo. La funzione di Green per quest’equazione è:
G(x;y)=−14πe−iω|x−y|/c|x−y|
La soluzione dell’equazione trasformata è quindi:
˜Aν(ω,x)=−μ0∫d3yG(x;y)˜Jν(ω,y)
Invertendo la trasformata di Fourier otteniamo:
Aν(t,x)=μ04π1√2π∫dω∫d3yeiω(t−|x−y|/c)|x−y|˜Jν(ω,y)
Svolgendo prima l’integrale in ω, otteniamo automaticamente l’inversione della trasformata di J al “tempo ritardato” trit=t−|x−y|/c:
Aν=μ04π∫d3yJν(trit,y)|x−y|
L’effetto del termine trit è quello di ritardare la propagazione in modo tale che i segnali viaggino con velocità c, coerentemente con i principi della relatività ristretta. Nell’elettromagnetismo classico (es. legge di Coulomb) i segnali viaggiano invece istantaneamente.
Notiamo che abbiamo scelto una specifica funzione di Green per l’equazione di Helmholtz, come avevamo già specificato nell’articolo a essa dedicato. Se avessimo scelto l’altra soluzione, quella col termine positivo nell’esponenziale, allora avremmo ottenuto al posto del termpo ritardato un “tempo avanzato” tava=t+|x−y|/c che non rispetta la causalità.