Spesso in fisica e in matematica si ha a che fare con funzioni $A(x)$ dove $x$ è un numero reale e $A$ una matrice. La derivata in questo caso si fa nel modo ovvio, cioè si calcola la derivata di ogni elemento separatamente. Spesso però si richiede il calcolo della derivata del determinante $\det{A}(x)$, che in termine degli elementi di $A$ è in genere complicatissimo. Come la calcoliamo?
La strategia è quella di calcolare prima la derivata di $\mathrm{det}: \mathcal{M}_n \to \mathbb{R}$ dove $\mathcal{M}_n$ è lo spazio delle matrici $n \times n$, e poi usare la regola della catena per calcolare la derivata richiesta.
Ricordiamo che la derivata della funzione $f$ calcolata in un punto di uno spazio vettoriale (in questo caso su una matrice $\in \mathcal{M}_n$) è la mappa lineare $B: \mathcal{M}_n \to \mathbb{R}$ tale che:
$$f(A+H)=f(A)+B(H) + o(H)$$
Nel nostro caso prendiamo $f=\mathrm{det}$, $A=I$, la matrice identità. Il determinante può essere pensato come una mappa multilineare dallo spazio delle colonne della matrice a $\mathbb{R}$. Chiamiamo quindi $H_1, H_2, \ldots, H_n$ le colonne di $H$. Pertanto
\begin{align*}
&\det{(I+H)}=\det{(e_1+H_1,e_2 +H_2, \ldots,e_n + H_n)}=\\
&=\det{(e_1, e_2, \ldots , e_n)}+\det{(H_1, e_2, \ldots , e_n)}+\cdots+\det{(e_1, e_2 , \ldots , H_n)} + o(H)=\\
&=1+H_{11}+H_{22}+\dots+H_{nn}+o(H)=\\
&=1+\mathrm{tr}(H)+o(H)\\
\end{align*}
dove $\{e_i\}$ è la base canonica di $\mathbb{R}$. Dalla prima alla seconda linea il passaggio segue per la multilinearità di $\mathrm{det}$. Pertanto in questo caso la mappa $B$, cioè la derivata in $I$, è $B(H)=\mathrm{tr}(H)$. Scriviamo quindi $D\mathrm{det}(I)(H)=\mathrm{tr}(H)$. Ora, per una matrice invertibile $A$ abbiamo:
$$\det{(A+H)} = \det{A}\det{(I+A^{-1}H)}=\det{A} (1+\mathrm{tr}(A^{-1}H) +o(H))$$
E quindi più in generale $D\mathrm{det}(A)(H)=\det{(A)}\mathrm{tr}(A^{-1}H)$. A questo punto basta applicare la regola della catena per ottenere:
$$\frac{d\det{A}(x)}{dx} = D \det{(A)}\left(\frac{dA(x)}{dx}\right) = \det{(A)}\mathrm{tr}\left(A^{-1}\frac{dA(x)}{dx}\right)$$
e quindi in definitiva la formula è:
$$\boxed{\frac{d\det{A}}{dx} = \det{(A)}\mathrm{tr}\left(A^{-1}\frac{dA}{dx}\right)}$$
che è anche chiamata formula di Jacobi.