Abbiamo derivato in un post precedente la forma covariante delle equazioni di Maxwell:
$\partial_\mu F^{\mu\nu} = -\mu_0 J^\nu$
$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_\nu -\partial_\nu A_\mu$
Poiché sono scritte in termini puramente tensoriali, sono valide in qualsiasi numero di dimensioni.
In $(D+1)$ dimensioni ($D$ spaziali e $1$ temporale), $A^\mu$ ha $(D+1)$ componenti, e $F_{\mu \nu}$ è quindi una matrice antisimmetrica $(D+1)\times (D+1)$. Poiché è antisimmetrica, la diagonale, che ha $(D+1)$ elementi, è zero, e il resto degli elementi è determinato da quelli sopra la diagonale, quindi $F$ ha
$$\frac{(D+1)^2-(D+1)}{2} = \frac{1}{2} D (D+1)$$
elementi indipendenti. In analogia col caso $3+1$ dimensionale, possiamo interpretare quelli della prima riga/colonna come i componenti di ${\textbf E}$ e i rimanenti come componenti di ${\textbf B}$. Quindi ${\textbf E}$ ha $D$ componenti, e ${\textbf B}$ i restanti, cioè $D (D-1)/2$. È una peculiarità del nostro spaziotempo ($D=3$) che ${\textbf E}$ e ${\textbf B}$ abbiano lo stesso numero di componenti. Inoltre in una sola dimensione spaziale il campo magnetico non esiste.
Per una particella posta in ${\textbf x}_0 \in \mathbb{R}^D$, la quadricorrente prende la forma:
$$J^\mu = \begin{pmatrix} cq\delta({\textbf x}-{\textbf x}_0) \\ {\textbf 0} \end{pmatrix}$$
Per ottenere il campo elettrico dovuto alla particella possiamo ripetere la derivazione della legge di Coulomb a partire dalla legge di Gauss. La componente zero dell’equazione di Maxwell covariante è:
$$\partial_\mu F^{\mu 0} = -\mu_0 J^0$$
Ovvero:
$$\nabla \cdot {\textbf E}= q \delta({\textbf x}-{\textbf x}_0)/\epsilon_0$$
In $D+1$ dimensioni abbiamo $D$ dimensioni spaziali, quindi una superficie sferica ha dimensione $D-1$. Racchiudendo la particella in una sfera e integrando otteniamo:
$$\int_{V(D)} \nabla \cdot {\textbf E} \, dV = q/\epsilon_0\\
\int_{S(D-1)} {\textbf E} \cdot dS = q/\epsilon_0\\
E(r) \int_{S(D-1)} dS = q/\epsilon_0$$
Il secondo passaggio segue dal teorema della divergenza; il terzo perché per simmetria possiamo assumere che ${\textbf E}$ dipenda solo dalla distanza dalla particella. Possiamo andare a cercare la superficie di un’ipersfera su Wikipedia, così otteniamo:
$$E(r) = \frac{\Gamma(D/2)}{2\pi^{D/2} \epsilon_0} \frac{q}{r^{D-1}} \propto \frac{q}{r^{D-1}}$$
dove $\Gamma$ è la funzione gamma. Quindi in generale la forza di Coulomb in $D+1$ dimensioni va come $1/r^{D-1}$. In particolare, in $1+1$ dimensioni la forza tra due particelle è costante e indipendente dalla distanza.